Rolle's theorem
함수 가 에서 연속이고, 에서 미분가능일 때, 이면,
인 가 존재한다.
다시 말해, 을 만족하는 가 구간 안에 적어도 하나 존재한다.
일반화시키면 평균값_정리,mean_value_theorem,MVT가 됨.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.
롤의 정리는 평균값정리의 특별한 경우임.
롤의 정리를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.
롤의 정리는 평균값정리의 특별한 경우임.
롤의 정리를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.
Proof ¶
1. 가 상수함수인 경우에는 자명.
2. 가 에서 연속이고 이므로 는 어떤 에서 최대값 또는 최소값을 가짐. (최대최소정리,extreme_value_theorem를 이용)
2-1. c가 최대값인 경우, 이므로 우변을 이항하면
일 때 왼쪽 부등식이, 일 때 오른쪽 부등식이 성립.
그리고 가 에서 미분가능. 따라서
2-2. 최소값인 경우도 최대값인 경우와 마찬가지의 방법으로 증명.
일 때 왼쪽 부등식이, 일 때 오른쪽 부등식이 성립.
그리고 가 에서 미분가능. 따라서
저게 http://unolab.tistory.com/entry/페르마의-정리 페르마의 임계값 정리?
Proof (again) ¶
함수 가 닫힌 구간 에서 연속이므로, 이 구간에서 최대값 과 최소값 을 갖는다.
1.
2. 이면 이므로 열린 구간 의 한 점 에 대해
이다. 따라서 이면
이고 가 에서 미분가능하므로
이다. 마찬가지로 이면
이고 가 에서 미분가능하므로
이다. 따라서 이다.
인 경우의 증명은 연습문제로 남긴다.
1.
2. 이면 이므로 열린 구간 의 한 점 에 대해
또는
이 성립한다. 만약 이면, 인 모든 에 대해인 경우의 증명은 연습문제로 남긴다.
From 서울대 기초수학교재(?)
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