보렐_집합,Borel_set

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'''보렐 집합, Borel set'''

//wpko
"[[열린집합,open_set]]들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합"
//from wpko
보렐 집합은 [[열린집합,open_set]]들로부터 가산(? 집합내 원소 개수가 가산? or 합집합들의 개수가 가산? or 연산이 가산 번?) [[합집합,union]] · 가산 [[교집합,intersection]] · [[차집합,set_difference]] 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합.
i.e.
보렐 집합은 [[열린집합,open_set]]들로부터 가산(? 집합내 원소 개수가 가산? or 합집합들의 개수가 가산? or 연산이 가산 번?) [[합집합,union]] · 가산 [[교집합,intersection]] · [[차집합,set_difference]] 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합. (''차집합에는 가산이 안 붙은 이유?'')

//mathworld
[[보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra]]의 원소.
[[보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra]]의 [[원소,element]].
"Roughly speaking, '''Borel set'''s are the sets that can be constructed
from open or closed sets
by repeatedly taking countable unions and intersections"
//from [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405357&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 측도]] > 5. 중요한 측도들 에서
$X$ 가 [[위상공간,topological_space]]일 때, $X$ 의 모든 [[열린부분집합,open_subset]]들의 모임으로 생성되는 [[시그마대수,sigma-algebra]]를 $X$ 위에서 정의된 [[보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra]]라 하며, 흔히 $\mathcal{B}_X$ 로 나타낸다.
보렐 시그마대수에 속하는 원소를 '''보렐_집합,Borel_set'''이라 하고,
보렐 시그마대수에서 정의된 [[측도,measure]]를 [[보렐_측도,Borel_measure]]라 한다.

//from 두산백과
[[시그마대수,sigma-algebra]] B가 정의된 공간 X를 [[가측공간,measurable_space]](또는 [[보렐_공간,Borel_space]])이라 하는데, B에 속한 집합을 (X, B)의 B-[[가측집합,measurable_set]](또는 B-보렐 집합)이라 부른다. (이하생략)
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//from wpen
다음 조건을 만족하는 [[위상공간,topological_space]] 안의 임의의 집합.
[[열린집합,open_set]]s(or, equivalently, from [[닫힌집합,closed_set]]s)으로부터 다음 [[연산,operation]]s:
countable union ''//countable은 uncountable의 반대? 아님 유한번이라는 거? - wpko 보니 [[가산집합,countable_set]] [[WpKo:가산_집합]]으로 링크 걸려있음.''
countable intersection
countable_union ''//countable은 uncountable의 반대? discrete? - wpko 보니 [[가산집합,countable_set]] [[WpKo:가산_집합]]으로 링크 걸려있음.''
countable_intersection
relative_complement (= [[차집합,difference]])
을 해서 얻어지는(formed) 집합.

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CHK
{
'''보렐 집합'''은 보렐 대수의 원소.
[[보렐_대수,Borel_algebra]] = [[보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra]]?
보렐 대수는 [[시그마대수,sigma-algebra]]의 일종?
}
----
del ok
{
Borel system of sets, family of Borel sets
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_system_of_sets
Borel field of sets, family of Borel sets
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_field_of_sets
}
tmp links ko
https://elecs.tistory.com/254
https://haawron.tistory.com/18
tmp links en
https://math.stackexchange.com/questions/220248/understanding-borel-sets
----
QQQ [[시그마대수,sigma-algebra]]중에서 특정한 일부가 Borel algebra(Borel σ-algebra)인건가? chk

mklink
[[가측집합,measurable_set]]
[[가측성,measurability]]
[[보렐_측도,Borel_measure]]
[[보렐_위계,Borel_hierarchy]](writing; curr see [[WpEn:Borel_hierarchy]])는 '''보렐 집합'''들의 [[위계,hierarchy]]. (via [[WpKo:기술적_집합론]])
----
AKA '''Borel-measurable set'''
AKA '''Borel-measurable set'''(Ency. of math)
AKA '''Borel subset''' (nLab)

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405108&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 보렐 집합]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1102398&cid=40942&categoryId=32206 두산백과: 보렐집합]]
https://mathworld.wolfram.com/BorelSet.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_set
https://ncatlab.org/nlab/show/Borel+subset
"'''Borel set'''s are certain subsets of a topological space. They form the Borel σ-algebra of the space, and they play an important role in measure theory."
(대충번역) '''보렐 집합'''은 한 [[위상공간,topological_space]]의 어떤 특정한(여기서 certain이 '확실한'은 아닐듯?) [[부분집합,subset]]이다. [[공간,space]]의 [[보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra]](=[[보렐_대수,Borel_algebra]]? rel. [[시그마대수,sigma-algebra]])를 이루며, 측도론에서 중요한 역할을 한다.
[[WpEn:Borel_set]]
[[WpKo:보렐_집합]]
https://freshrimpsushi.github.io/posts/borel-set/

Up: [[집합,set]] 측도론([[측도,measure]])
https://en.citizendium.org/wiki/Borel_set

Up: [[집합,set]] 측도론([[측도,measure]])


보렐 집합, Borel set

//wpko
"열린집합,open_set들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합"
i.e.
보렐 집합은 열린집합,open_set들로부터 가산(? 집합내 원소 개수가 가산? or 합집합들의 개수가 가산? or 연산이 가산 번?) 합집합,union · 가산 교집합,intersection · 차집합,set_difference 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합. (차집합에는 가산이 안 붙은 이유?)

//mathworld
보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra의 원소,element.
"Roughly speaking, Borel sets are the sets that can be constructed
from open or closed sets
by repeatedly taking countable unions and intersections"

//from [https]수학백과: 측도 > 5. 중요한 측도들 에서
$X$ 가 위상공간,topological_space일 때, $X$ 의 모든 열린부분집합,open_subset들의 모임으로 생성되는 시그마대수,sigma-algebra를 $X$ 위에서 정의된 보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra라 하며, 흔히 $\mathcal{B}_X$ 로 나타낸다.
보렐 시그마대수에 속하는 원소를 보렐_집합,Borel_set이라 하고,
보렐 시그마대수에서 정의된 측도,measure를 보렐_측도,Borel_measure라 한다.

//from 두산백과
시그마대수,sigma-algebra B가 정의된 공간 X를 가측공간,measurable_space(또는 보렐_공간,Borel_space)이라 하는데, B에 속한 집합을 (X, B)의 B-가측집합,measurable_set(또는 B-보렐 집합)이라 부른다. (이하생략)

//from wpen
다음 조건을 만족하는 위상공간,topological_space 안의 임의의 집합.
열린집합,open_sets(or, equivalently, from 닫힌집합,closed_sets)으로부터 다음 연산,operations:
countable_union //countable은 uncountable의 반대? discrete? - wpko 보니 가산집합,countable_set WpKo:가산_집합으로 링크 걸려있음.
countable_intersection
relative_complement (= 차집합,difference)
을 해서 얻어지는(formed) 집합.

CHK
{
보렐 집합은 보렐 대수의 원소.

del ok
{
Borel system of sets, family of Borel sets
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_system_of_sets

Borel field of sets, family of Borel sets
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_field_of_sets
}



QQQ 시그마대수,sigma-algebra중에서 특정한 일부가 Borel algebra(Borel σ-algebra)인건가? chk

AKA Borel-measurable set(Ency. of math)
AKA Borel subset (nLab)

Twins:
[https]수학백과: 보렐 집합
[https]두산백과: 보렐집합
https://mathworld.wolfram.com/BorelSet.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Borel_set
https://ncatlab.org/nlab/show/Borel subset
"Borel sets are certain subsets of a topological space. They form the Borel σ-algebra of the space, and they play an important role in measure theory."
(대충번역) 보렐 집합은 한 위상공간,topological_space의 어떤 특정한(여기서 certain이 '확실한'은 아닐듯?) 부분집합,subset이다. 공간,space의 보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra(=보렐_대수,Borel_algebra? rel. 시그마대수,sigma-algebra)를 이루며, 측도론에서 중요한 역할을 한다.
WpEn:Borel_set
WpKo:보렐_집합
https://freshrimpsushi.github.io/posts/borel-set/


Up: 집합,set 측도론(측도,measure)