수렴반지름,convergence_radius

radius of convergence, convergence radius



Twins:

[https]수학백과: 수렴반지름
{
멱급수,power_series에서 변수 대신 어떤 수를 대입하여 수렴하는 경우,
이런 수들을 모으면 중심,center에서 일정한 거리 이내에 있는데,
이 거리를 수렴반지름 또는 수렴반경이라 한다.

즉 수렴반지름 안에선 수렴,convergence, 그 밖에서는 발산,divergence? chk

(보조정리) 멱급수
$a(x)=\sum_n a_n x^n$
과 $r\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립.
  • $a(r)$ 이 수렴하면 $|s|<|r|$ 인 모든 $s$ 에 대해 $a(s)$ 는 절대수렴.
    i.e. $\sum_n |a_n s^n|$ 이 수렴.
    특히 $a(s)=\sum_n a_n s^n$ 도 수렴.
  • $a(r)$ 이 발산하면 $|s|>|r|$ 인 모든 $s$ 에 대해 $a(s)$ 는 발산.

...

수렴반지름의 계산
멱급수 $a(x)=\sum a_n x^n$ 에 대해,
  • 극한값 $\rho=\lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ 이 존재 ⇒ $R=\frac1\rho$
  • 극한값 $\rho=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 이 존재 ⇒ $R=\frac1\rho$
(단 $\rho=0\to R=\infty,\; \rho=\infty\to R=0$ 으로 해석)

아다마르(Hadamard) 공식 - 수렴반지름을 구하는 만능 공식. ... pagename Hadamard_formula ? Cauchy-Hadamard_theorem ?
{
아다마르(Hadamard) 공식 ->
https://mathworld.wolfram.com/Cauchy-HadamardTheorem.html
WpKo:코시-아다마르_정리
WpEn:Cauchy–Hadamard_theorem
//먼저 limsup, liminf - 상극한,limit_superior and 하극한,limit_inferior 지식 필요




AKA 수렴반경