convergence n. 수렴(성)
converge vi. 수렴하다, 수렴한다 (모여들다, 집중되다)
convergent adj. 수렴하는

convergence interval, interval of convergence 수렴구간 - 수렴구간,convergence_interval
convergent series 수렴하는 급수
convergent_series {

수렴급수? - yes(wpko)
https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSeries.html

Convergent_series

수렴급수
수렴,convergence 급수,series }

convergent_sequence { 수렴수열? 수렴열?

rel.

Limit_of_a_sequence

수열의_극한
(극한,limit이 존재하는 sequence는 convergent sequence.)
https://planetmath.org/convergentsequence
https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSequence.html
수렴,convergence 수열,sequence
}

수렴반경 수렴반지름 convergence radius - 아래 section

Sub:

절대수렴,absolute_convergence
조건수렴,conditional_convergence
무조건수렴,unconditional_convergence

{
무한급수,infinite_series....

TBW 조건수렴,conditional_convergence and 절대수렴,absolute_convergence과 어떤관계?

-> 유한차원 벡터공간에서는 절대수렴,absolute_convergence과 같으며, 무한차원일 때는 더 약한 성질. (wpen)

mklink
순열,permutation

Twins:

무조건_수렴(까다로움)

Unconditional_convergence(덜 까다로움)

"a series is unconditionally convergent if all reorderings of the series converge to the same value"

Up: 수렴,convergence 함수해석,functional_analysis
}

균등수렴,uniform_convergence - writing
점별수렴,점마다수렴,pointwise_convergence - writing

'수학백과: 수렴' 의 '4.함수열의 수렴성' 에 함수열의 pointwise convergence 설명 있음.

수렴영역 (ROC) - curr at 영역,region

1. 판정법의 일종인데... 발산에 관한 일반항 판정법 ¶

(1) 급수(무한급수,infinite_series) $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 수렴하면 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ 이다.
(2) $\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0$ 이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 은 발산한다.
(위 둘은 서로 대우임이 보인다)

wpen에선 극한,limit이 존재하지 않는 경우도 이 test가 성립한다고 적어놓음:
If $\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0$ or if the limit does not exist, then $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverges.

TOFORK... 근데 이름이 통일되지 않음. (매우 간단해서인지 이름을 붙이지 않는 교재 저자들도 많다.) pagename? TBD
일반항판정법 (wpko)
항판정법,term_test 으로 할까?
n항판정법? nth-term_test (wpen)
nth term test for divergence

Nth-term_test

일반항_판정법

Proof
Let $s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n.$
Then $a_n=s_n-s_{n-1}.$
Since $\textstyle\sum a_n$ is convergent, the sequence $\{ s_n \}$ is convergent.
Let $\textstyle\lim_{n\to\infty} s_n = s.$
Since $n-1\to\infty$ as $n\to\infty,$
we also have $\textstyle\lim_{n\to\infty} s_{n-1} = s.$
Therefore

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1})=\lim_{n\to\infty}s_n-\lim_{n\to\infty}s_{n-1}=s-s=0$

(Stewart 9e p745)

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2. 절대수렴/조건수렴 ¶

절대수렴,absolute_convergence
조건수렴,conditional_convergence

정의:

(i) 급수,series $\sum |a_n|$ 이 수렴할 때,

$\sum a_n$ 은 절대수렴한다고 한다. (absolutely convergent)

(ii) $\sum a_n$ 은 수렴하지만 $\sum |a_n|$ 은 수렴하지 않을 때,

$\sum a_n$ 은 조건수렴한다고 한다. (conditionally convergent)

(조건수렴=조건부수렴)

정리:

Σa_n이 절대수렴하면
Σa_n은 수렴한다.

증명:

$0\le a_n+|a_n| \le |a_n|+|a_n|=2|a_n|$ 이므로

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3. 수렴반지름, 수렴반경 convergence radius ¶

AKA radius of convergence
수렴반지름,convergence_radius

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4. 수렴구간 interval of convergence ¶

수렴구간,convergence_interval
convergence_interval interval_of_convergence
interval of convergence

비교: 수렴반지름,convergence_radius

수렴반지름과 수렴구간 정의는 다음도 참고
https://freshrimpsushi.github.io/posts/power-series/

구간,interval

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5. 수열의 수렴 vs 함수의 수렴? ¶

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5.1. 이산적인discrete 수열,sequence의 수렴 ¶

수열의 수렴

$\forall\epsilon>0,$ 자연수 $k(\epsilon)$ 가 존재해서 $n\ge k$ 일 때 $|x_n-x|<\epsilon$ 이면 수열 $\lbrace x_n \rbrace$ 은 $x$ 에 수렴한다고 하고 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ 로 표시한다.

from https://youtu.be/pMuY9wkf6c4