완전미분방정식,exact_differential_equation

완전 미분 방정식, exact differential equation, exact DE



(정의) 미분방정식
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ ......(1)
의 좌변이 어떤 이변수함수 $u(x,y)$ 의 전미분 $du(x,y)$ 와 같을 때, 즉,
$du(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy = M(x,y)dx + N(x,y)dy$
일 때, 식 (1)을 완전미분방정식이라 한다.
이 때, 일반해는 $du(x,y)=0$ 에서 $u(x,y)=c$ 이다.


(판정조건) 미분방정식
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 다음이다.
$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$


(해법) 완전미분방정식
$Mdx+Ndy=0$
에서
$M=\frac{\partial u}{\partial x},\; N=\frac{\partial u}{\partial y}$
이므로 각각을 적분하여 $u$ 를 찾자. 우선 $M$ 이 $u$ 를 $x$ 에 대하여 편미분한 것이므로 $y$ 를 상수로 보고 $M$ 을 $x$ 에 대하여 적분하여 $u$ 의 일부를 찾는다.
$u(x,y)=\int Mdx+k(y)$ ......(1)
이다. 이 때 $k(y)$ 는 적분상수의 역할을 한다. 이제 이 $k(y)$ 를 찾기 위하여 양변을 $y$ 에 대하여 미분한 후 $N$ 이라 두고 양변을 비교하여 $k(y)$ 를 찾는다.
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int M dx + k'(y)=N$
이므로
$k(y)=\int\left( N-\frac{\partial}{\partial y}\int M dx \right) dy$
이다. 이 $k(y)$ 를 식 (1)에 대입하면, 완전미분방정식의 해공식
$\int M dx + \int \left( N - \frac{\partial}{\partial y}\int M dx \right)dy=c$
이 얻어진다.

(정보현 공수 p37-38)