유리수,rational_number

Difference between r1.32 and the current

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표기: $\mathbb{Q}$ ([[칠판_볼드체,blackboard_bold]]), ℚ(유니코드)
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표기:
$\mathbb{Q}$ ([[칠판_볼드체,blackboard_bold]]), ℚ(유니코드)

$\mathbb{Q}=\left{n/m\middle|n\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{Z},m\ne 0\right}$

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정수의 [[분수,fraction]] 형태로..?
(분모가 0인 경우는 제외)
두 [[정수,integer]]의 [[분수,fraction]]. (nLab)
MKLINK: [[정수,integer]] [[분수,fraction]] [[numerator]] [[denominator]] <- 이것들로 정의? chk

// (유리수체? 유리체?) ℚ 에 대해
[[체,field]] of '''rational number'''s : [[field_of_fraction]]([[fraction_field]]?) s of the [[가환환,commutative_ring]] of integers (nLab)
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모든 순환소수는 유리수이다.
기약분수의 분모를 [[소인수분해,prime_factorization]]했을 때 소인수가 2와 5밖에 없으면 유한소수로 나타낼 수 있다.

유리수는 [[체,field]], esp [[순서체,ordered_field]].
유리수는 완비가 아님 - [[완비성,completeness]]을 갖지 않음 - 순서체이지만 [[완비순서체,complete_ordered_field]]는 아님.
(Thomas)
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Up: [[수의_집합]]
유리수 집합은 [[체,field]]이다.

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'''유리수'''와 [[무리수,irrational_number]]의 합집합은 [[실수,real_number]]를 이룬다.

유리수를 무한히 더해서(infinite sum) [[무리수,irrational_number]]로 만들 수 있다. ex. Fourier, $\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\cdots=\frac{\pi}{4}$
(유한 번 더하는 건 물론 어림없다. [[닫힘성,closedness]])
## ''...그렇다면 닫힘성은 애초에 '유한 번 연산'에만 적용되는 것? / 여기서 '무한 번 연산'은 '닫힘성'을 깨뜨리는데 정확한 설명? QQQ / 실수의 본질, 실수의 구성, [[절단,cut]] ie [[데데킨트_절단,Dedekind_cut]], closedness/closure 등 찾아보면 되려나? - 나중에...''

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https://en.citizendium.org/wiki/Rational_number
https://everything2.com/title/rational+number (rel. aleph_null, [[동형사상,isomorphism]])
https://everything2.com/title/Construction+of+the+rational+numbers
https://ncatlab.org/nlab/show/rational+number
[[WpSimple:Rational_number]] (too easy as of [[Date(2022-02-08T23:46:38)]])
[[WpEn:Rational_number]]
[[WpKo:유리수]]
https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Rational_number

PL implementation: [[http://rosettacode.org/wiki/Arithmetic/Rational]]
Google:Rational.number
http://rosettacode.org/wiki/Arithmetic/Rational (PL implementations)
http://oeis.org/wiki/Rational_numbers


표기:
$\mathbb{Q}$ (칠판_볼드체,blackboard_bold), ℚ(유니코드)

$\mathbb{Q}=\left{n/m\middle|n\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{Z},m\ne 0\right}$

$\mathbb{Q}=\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}\bigcup_{j\in\mathbb{N}}\left\lbrace \frac{i}{j}\right\rbrace$ [1]

하나의 유리수 $\frac{n}{m}$ 를 정수들의 순서쌍(ordered pair, see 튜플,tuple) $(n,m)$ 으로 볼 수 있다. (단 m≠0)

두 정수,integer의 비,ratio(나눗셈,division)로 나타낼 수 있는 수.
정수의 분수,fraction 형태로..?
(분모가 0인 경우는 제외)
두 정수,integer의 분수,fraction. (nLab)

MKLINK: 정수,integer 분수,fraction numerator denominator <- 이것들로 정의? chk

// (유리수체? 유리체?) ℚ 에 대해
체,field of rational numbers : field_of_fraction(fraction_field?) s of the 가환환,commutative_ring of integers (nLab)

유리수의 조밀성(density)
a<b인 임의의 두 실수 a, b에 대하여 a<r<b인 유리수 r이 존재한다.
$\forall x,y\in\mathbb{R},$
$x<y$ 일 때
$x<r<y$ 인 $r\in\mathbb{Q}$ 이 존재한다.
(따름정리)
$\forall r\in\mathbb{R},$
$\lim_{n\to\infty}a_n=r$ 인 유리수 수열 $\lbrace a_n \rbrace$ 이 존재한다.
// 조밀성,density 나중에 정리. 무리수도 조밀함. see 맛있는해석학 4e p54 정리 2.4.17

모든 유한소수는 유리수이다.
모든 순환소수는 유리수이다.
기약분수의 분모를 소인수분해,prime_factorization했을 때 소인수가 2와 5밖에 없으면 유한소수로 나타낼 수 있다.

유리수는 체,field, esp 순서체,ordered_field.
유리수는 완비가 아님 - 완비성,completeness을 갖지 않음 - 순서체이지만 완비순서체,complete_ordered_field는 아님.
(Thomas)

Up: 수의_집합
유리수 집합은 체,field이다.

See also: 부동소수점,floating_point


유리수와 무리수,irrational_number의 합집합은 실수,real_number를 이룬다.

유리수를 무한히 더해서(infinite sum) 무리수,irrational_number로 만들 수 있다. ex. Fourier, $\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\cdots=\frac{\pi}{4}$
(유한 번 더하는 건 물론 어림없다. 닫힘성,closedness)


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