미분가능한 일변수함수
에 대해
미분,differential 를
독립변수,independent_variable로 정의한다.
즉
는 임의의 실수로 주어질 수 있다.
이 때
의 미분을 다음과 같이 정의한다.
미분가능한 이변수함수
에 대해 미분
와
를 독립변수로 정의한다.
즉
와
는 임의의 값으로 주어질 수 있다.
그러면 미분
는 다음과 같이 정의되고, 이것을
전미분(total differential)이라 한다.
때때로 기호
대신
를 이용하기도 한다.
(Stewart 8e ko p773)
이면, 미분
는 독립변수인 미분
로 다음과 같이 정의한다.
(Stewart 8e ko p775)
}
식 (1), (2)를 비교하면, 만약 적당한 함수
가 존재해서
......(4)
이렇게 된다면, 식 (1)이 완미방(exact DE)임을 알 수 있다. 이걸로부터 다음과 같이 식 (1)이 exact DE인지 여부를 검증하는 공식을 유도할 수 있다.
평면에서 자체적으로 교차하는 점이 없는 닫힌 곡선을 경계로 갖는 닫힌 영역에서
이 연속이고 연속인 1계편도함수를 갖는다고 하자. 그러면 식 (4)를 편미분하면
이고 연속성의 가정에 의해 두 2계편도함수는 서로 같다. 따라서
이다. 이 조건은 식 (1)이 완미방이 되기 위한 필요충분조건이다.
식 (1)이 완미방이면, 다음 방법에 의해 함수
를 구할 수 있다. 식 (4a)로부터
에 대해 적분하여
......(6)
여기서
는 상수로 간주되어야 하고
는 적분상수 역할을 한다.
를 결정하려면 식 (6)에서 ∂u/∂y를 이끌어 내고, 식 (4b)에서
를 구한 다음,
를 적분하여
를 얻는다.
마찬가지로 식 (4b)에서
에 대해 적분하여
를 결정하기 위해서는 ∂u/∂x를 이끌어 내고, 식 (4a)를 써서
를 구한 다음 적분한다.
이변수 연속 함수
에서
....
아무튼 그래서
total differential of
principal part in the change in 로 불리기도 한다고.
TBW, MKLINK