초기하분포,hypergeometric_distribution

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[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405351&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 초기하분포]]
$X\sim \text{HG}(N,m,k)$
[[WpEn:Hypergeometric_distribution]]
https://everything2.com/title/hypergeometric+distribution

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반복하지 않는 시도에서 사건이 발생할 확률분포

크기(=원소의 개수)가 $N$ 인 유한한 모집단,population에서,
  • 특별한 성질을 가진 것 $k$ 개 (ex. 성공)
  • 특별한 성질을 갖지 않은 나머지 $N-k$ 개 (ex. 실패)
이 모집단에서 $n$ 개의 표본을 "비복원 임의추출"할 때

확률변수 X : 특별한 성질을 갖고 있는 것들의 개수

X의 확률함수:
$P(X=x)=\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ 단 $0\le x\le n,\;x<k$
이면
$X$ : 초기하확률변수
$X$ 의 분포 : 초기하분포

식을 다시 써보면
$P(X=x)=\frac{{}_k{\rm C}_x \times {}_{N-k}{\rm C}_{n-x}}{{}_N{\rm C}_n}$


무한모집단에서 표본을 임의추출하거나, 유한모집단에서 복원추출하는 경우, 이항분포 조건을 만족하므로 이항분포를 쓰면 된다. 그러나 유한모집단에서 비복원추출하는 경우, 베르누이_시행,Bernoulli_trial의 조건이 만족되지 않아 이항분포를 사용할 수 없다.

모집단의 크기가 표본의 크기 $n$ 에 비해 매우 클 때 $(N\gg n)$
근사적으로 이항분포,binomial_distribution 사용 가능
모집단의 크기가 작을 때,
이 경우 초기하분포 사용

초기하분포 확률변수 X의 평균:
$E(X)=\mu=n\frac{k}{N}$

초기하분포 확률변수 X의 분산:
$V(X)=\sigma^2=\frac{N-n}{N-1}\cdot n\cdot \frac{k}{N}\cdot\frac{N-k}{N}$

예)
가정: 생산된 40개의 제품 중 실제로 3개의 불량품 존재
5개의 제품을 비복원 임의추출
정확히 1개의 불량품이 발견될 확률?
Sol)
X: 불량품의 개수
N=40, n=5, k=3인 초기하분포에서 x=1인 경우이므로
$P(X=1)=\frac{\binom{3}{1}\binom{37}{4}}{\binom{40}{5}}=0.3011$
참고로
$E(X)=\frac{nk}{N}=\frac{5\times3}{40}=\frac38=0.375$
$V(X)=\frac{N-n}{N-1}\cdot n\cdot\frac{k}{N}\cdot\frac{N-k}{N}=\frac{40-5}{40-1}\cdot5\cdot\frac3{40}\cdot\frac{40-3}{40}=0.3113$

(from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1162312 4장_확률변수와분포_초기하분포)