MIT 18.03 Differential Equations, Spring 2006
https://www.youtube.com/playlist?list=PLEC88901EBADDD980
https://www.youtube.com/playlist?list=PLEC88901EBADDD980
(참고:)
MIT 18.03SC Differential Equations, Fall 2011
https://www.youtube.com/playlist?list=PL64BDFBDA2AF24F7E
MIT 18.03SC Differential Equations, Fall 2011
https://www.youtube.com/playlist?list=PL64BDFBDA2AF24F7E
1. Lec 1 ¶
Geometric view of ODEs // ODE를 기하적 관점에서 볼 수 있다
(방향장,direction_field에 대해)
평면,plane의 각 점,point에서 line element(짧은 선분,line_segment?)을 그린다.
(x,y)에서 그린다면 그 기울기,slope는 f(x,y).
이 때 적분곡선,integral_curve은 이 line element들 방향을 따라(?) 부드럽게 잇는 곡선,curve.
| 해석적 analytic | ↔ | 기하적 geometric |
| ↔ | 방향장,direction_field | |
| ↔ | 적분곡선,integral_curve |
(방향장,direction_field에 대해)
평면,plane의 각 점,point에서 line element(짧은 선분,line_segment?)을 그린다.
(x,y)에서 그린다면 그 기울기,slope는 f(x,y).
이 때 적분곡선,integral_curve은 이 line element들 방향을 따라(?) 부드럽게 잇는 곡선,curve.
(적분곡선,integral_curve에 대해)
적분곡선은 미분방정식의 해,solution의 그래프,graph이다.
다른 말로 하면,
해석적으로 미방을 쓰는(write) 것은 기하적으로 방향장을 그리는(draw) 것과 마찬가지고,
해석적으로 미방을 풀어(solve) 해(solution)를 구하는 것은 기하적으로 적분곡선을 그리는 것과 마찬가지다.
적분곡선은 미분방정식의 해,solution의 그래프,graph이다.
다른 말로 하면,
해석적으로 미방을 쓰는(write) 것은 기하적으로 방향장을 그리는(draw) 것과 마찬가지고,
해석적으로 미방을 풀어(solve) 해(solution)를 구하는 것은 기하적으로 적분곡선을 그리는 것과 마찬가지다.
| | ⇔ | graph of |
| | ⇔ | slope of |
Drawing Direction Field
컴퓨터의 경우,
1. (x,y)를 고른다 (equally spaced - 즉 격자점)
2. f(x,y)를 구한다(find)
3. (x,y)에 기울기 f(x,y)인 짧은 선을 그린다.
1. (x,y)를 고른다 (equally spaced - 즉 격자점)
2. f(x,y)를 구한다(find)
3. (x,y)에 기울기 f(x,y)인 짧은 선을 그린다.
사람의 경우,
1. 기울기를 고른다 (Pick slope C)
2. f(x,y)=C인 그래프를 그린다 (plot equation) - isocline - (점선으로)
3. 그 isocline 위에 기울기가 C인 짧은 선분들을 (원하는 만큼 많이) 그린다. - 사람 입장에서는 위의 컴퓨터 방법보다 효율적이다.
1. 기울기를 고른다 (Pick slope C)
2. f(x,y)=C인 그래프를 그린다 (plot equation) - isocline - (점선으로)
3. 그 isocline 위에 기울기가 C인 짧은 선분들을 (원하는 만큼 많이) 그린다. - 사람 입장에서는 위의 컴퓨터 방법보다 효율적이다.
Ex.
Ex.
Ex.
Two integral curves can't cross (마치 자기력선같은?)
(can't have 2 slopes)
(can't have 2 slopes)
Two integral curves cannot be tangent (touch)
그 이유는 좀 복잡하다(sophisticated) - existence and uniqueness theorem
그 이유는 좀 복잡하다(sophisticated) - existence and uniqueness theorem