기하분포,geometric_distribution

이게 이름이 이런 이유는 분명.. 기하수열,geometric_sequence의 공비 $r(<1)$ 인 그래프가 기하분포의 성공확률 $p(<1)$ 에 대한 pmf와 비슷해서 or 같아서..? - chk

대충, 전체 $x$ 번 시행에서, 실패가 $x-1$ 번 반복되다가, 마지막에 성공 1번.
실패확률 $(1-p)$ 그리고 성공확률 $p.$ 따라서
$(1-p)^{x-1}p^1$

이전의 실패 여부는 다음 시행에 영향을 주지 않는 상황을 가정. (식에 확률이 $p,\,1-p$ 두 가지만 나오는 것을 보면 알 수 있다) - rel. 무기억성,memorylessness ... CHK

// ㄷㄱㄱ week 7-1 7m
기하분포 Geometric Distribution


$\bullet\; \text{P}(x)=p(1-p)^{x-1} \; \text{for} \; x=1,2,3,\cdots$

$\bullet\; \text{E}[X]=\frac1p$

$\bullet\; \text{Var}[X]=\frac{1-p}{p^2}$

The number of Bernoulli trials for the first success // 베르누이 시행을 계속 할 때, 처음 '성공'하기 위한(i.e. 뭔가 처음 나오기 위한) 시행의 수 - i.e. 뭔가 나올 때 까지 계속해서 시행했을 때 시도의 수
  • Probability to have the first head at the third trial when flipping a coin with head probability of 1/3 // 예를 들어, head 나올 확률이 1/3인 동전을 계속 던졌는데 첫번째 두번째는 tail이 나오고 세번째에 처음 head가 나오는 확률은
  • $X\sim\text{Geo}\left(\frac13\right),\;\text{Pr}[X=3]=\frac23\cdot\frac23\cdot\frac13$

success/fail이란 단어를 쓸 때, 보통 success 확률 p, fail 확률 (1-p) 로 잡는? chk
암튼 p가 한 번(1), (1-p)가 x-1번(x-1) - 그래서 P(x)의 식이 저 모양.

PX(x)는 exponential_decay 모양이다. - 정확히. 모양만? 실제로? chk
https://i.imgur.com/3XqBYkgl.png

0으로 접근하지만 0이 되지는 않는다. p가 작으면 느리게, p가 크면 빠르게 0으로 접근.

베르누이_시행,Bernoulli_trial이 처음 성공할 때까지의 시행횟수를 확률변수 X라고 했을 때, X의 분포.
$X\sim{\rm Geo}(p)$
1-p가 n-1만큼 반복되다가 마지막 n번째에 p의 확률을 가지면 되므로, PMF:
$P(X=x)=f(x;p)=(1-p)^{x-1}p$
where
$x\in[0,\infty),\;0\le p\le 1$

tmp from https://sumniya.tistory.com/27 ; CHK

http://blog.naver.com/mykepzzang/220839837110
{
성공할 때까지 계속 시도
}

성질
무기억성 memoryless

[edit]

기하확률변수,geometric_random_variable

{
Note the number $M$ of independent Bernoulli trials until the first occurrence of a success.
  • $M$ is called the geometric r.v.
  • Sample space $S_X=\lbrace 1,2,\cdots \rbrace$

PMF of r.v. $M$
$P[M=k]=p_M(k)=(1-p)^{k-1}p$
$k=1,2,\cdots$
$p=$ probability of success in each trial

Check $\sum p_M(k)=1$

It is the only discrete variable that fulfills the memoryless property.
  • If a success has not occurred in the first $j$ trials, then the probability of at least $k$ more trials is the same as the probability of initially performing at least $k$ trials.
  • Each time a failure occurs, the system "forgets" its history.

    $P[M\ge k+j|M>j]=P[M\ge k]\;\forall j,k>1$
⇒
$P[M\ge k+j|M>j]=\frac{P[M\ge k+j\cap M>j]}{P[M>j]}=\frac{P[M\ge k+j]}{P[M\ge j+1]}$
$=\frac{P[M\ge k+j]}{P[M\ge j+1]}=\frac{(1-p)^{k+j-1}}{(1-p)^j}=(1-p)^{k-1}=P[M\ge k]$

기하분포,geometric_distribution
}