기하확률변수,geometric_random_variable

성공 확률이 $p$ 인 베르누이_시행,Bernoulli_trial에서 처음 성공이 일어날 때 까지 반복한 시행,trial 횟수를 $X$ 라 할 때,
$X$ 를 성공 확률이 $p$ 인 기하확률변수라 하고
$X\sim\text{Geo}(p)$
로 나타냄.

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First Version

$S_X=\{0,1,2,\cdots\}$
$p_k=p(1-p)^k$
$k=0,1,\cdots$
$\text{E}[X]=\frac{1-p}{p}$
$\text{V}[X]=\frac{1-p}{p^2}$

독립적 베르누이_시행,Bernoulli_trial에서, X는 처음 성공하기 전까지 벌어진 실패의 횟수. (number of failures before the first success)
기하확률변수는 memoryless property(see 무기억성,memorylessness)를 가진 유일한 이산확률변수임.

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Second Version

$S_{X'}=\{1,2,\cdots\}$
$p_k=p(1-p)^{k-1}$
$k=1,2,\ldots$
$\text{E}[X']=\frac1p$
$\text{V}[X']=\frac{1-p}{p^2}$

독립적 베르누이 시행에서, $X'=X+1$ 은 처음 성공하기 전까지 성공할 때 까지 시도한 횟수. (number of trials until the first success)

Source: Leon-Garcia Table 3.1

성공 확률이 $p$ 인 베르누이_시행,Bernoulli_trial을
성공이 나올때까지 반복한 횟수를 $X$ 라 하면,
$X$ 는 모수가 $p$ 인 기하분포,geometric_distribution를 따른다고 한다.

기하분포를 따르는 확률변수,random_variable를 기하확률변수 또는 줄여서 기하변수라고 한다.

$X_i \;(i=1,2,\cdots)$ 가 $i$ 번째 베르누이 시행의 결과이면,
$k\ge 1$ 일 때 사건,event
$\{X=k\}$
는
$\{X_1=0,\cdots,X_{k-1}=0,X_k=1\}$ 와 같다.

기하확률변수(geometric RV)의 성질
$X$ 가 모수(성공확률) $p$ 인 기하확률변수이면, 즉 $X\sim\text{Geo}(p)$ 이면,
Source: [https]수학백과: 베르누이 시행 3.2.


연속확률변수인 지수확률변수,exponential_random_variable와 밀접.