선형사상,linear_map

선형사상, linear map, linear mapping

선형변환,linear_transformation, 일차변환과 동의어.

행렬에서 얻어지는 사상
$L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$
은 다음과 같은 특징이 있다. 임의의 $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ 와 $t\in\mathbb{R}$ 에 대하여
$L(\vec{x}+\vec{y})=L(\vec{x})+L(\vec{y})$
$L(t\vec{x})=tL(\vec{x})$
이와 같은 성질을 가지고 있는 사상을 선형사상(linear map)이라고 부른다.

Ex.
항등사상,identity_map
$\text{id}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,$
$\text{id}(\vec{x}):=\vec{x}$
는 당연히 선형사상이다. 원점에 대한 점대칭변환
$-\text{id}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,$
$\vec{x}\mapsto-\vec{x}$
도 선형사상이다. 또 다른 보기로는 주어진 실수 $a_1,\cdots,a_n$ 에 대하여 함수
$l(x_1,\cdots,x_n):=a_1x_1+\cdots+a_nx_n \;\;\; ((x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n)$
은 선형사상이다.

바나흐는 1922년에 선형사상의 개념을 확립했다.

모든 선형사상은 행렬,matrix에서 얻어진다.
i.e. 행렬과 선형사상은 같은 것으로 볼 수 있다.
행렬과 선형사상이 대응된다는 얘기. QQQ 일대일대응?

(김홍종 미적1+ p234-235)


// 다음 줄은 이것과 매우 유사하거나 동일한데 page 어떻게 할건지 TBD
linear_operator - 선형작용소 or 선형연산자 ... 선형연산,linear_operation or 선형연산자,linear_operator ...

선형함수,linear_function (??? 저건 map=function 동의어로 놓으면 순수수학의 이거랑 같은 뜻일수도 있고, 그렇게 하지 않으면 전혀 다른 뜻일수도 있는데.. 암튼 작성중)



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1. cmp


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1.1. bilinear map

bilinear_map - writing
{
cmp bilinear_form
Up bilinearity
}

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1.2. 다중선형사상(multilinear map)

multilinear_map - writing
{
cmp multilinear_form
Up multilinearity - 대충 다중선형성 다선형성 둘중에서 선택예정.
(tmp) kms multilin - https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=multilin - 다중선형 and 겹선형 ..
}

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2. antilinear map

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2.1. linear morphism ?