절대수렴,absolute_convergence

무한급수,infinite_series 각 항에 절대값,absolute_value을 취했을 때, 합,sum이 유한한 i.e. 수렴하는 성질.

(항상 양인 항을 더해도 수렴)


절대수렴은 강력한 조건이다. - 뜻?

절대수렴의 정의

⑴ 급수 $\textstyle\sum|a_n|$ 이 수렴할 때 $\textstyle\sum a_n$ 은 절대수렴한다고 한다. (absolutely convergent)

⑵ $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴하지만 $\textstyle\sum |a_n|$ 은 수렴하지 않을 때 $\textstyle\sum a_n$ 은 조건수렴한다고 한다. (conditionally convergent)


정리: $\textstyle\sum a_n$ 이 절대수렴하면 $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴한다.
증명:
$0\le a_n+|a_n| \le |a_n| + |a_n| = 2 |a_n|$
이므로 비교판정법,comparison_test에 의하여 $\textstyle\sum(a_n+|a_n|)$ 은 수렴한다.
∴ $\textstyle\sum a_n = \sum(a_n+|a_n|)-\sum|a_n|$ 은 수렴한다.

따름정리: $\textstyle\sum a_n$ 이 발산하면 $\textstyle\sum|a_n|$ 도 발산한다.

(차영준)

정의: 절대 수렴

급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 절대 수렴한다고 한다.

위의 정의에 따라 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 이 절대 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 역시 수렴함을 알 수 있다.

(이승준 p25)