(Stewart)
급수
이 다음의 세 가지 조건을 만족시키면 수렴한다.
- 모든 에 대해
- 적당한 정수 이 존재하여 모든 에 대해, 즉 양수 은 결국 감소한다.
증명
이라고 하자.
이 짝수인 정수, 즉
이면 처음
항의 합은 다음과 같다.
첫 번째 줄 식에서 괄호 안 각 항이 0 또는 양수이므로,
은 음이 아닌 항들의 합임을 알 수 있다.
따라서
이고
은 감소하지 않는 수열이다.
두 번째 줄 식에서
임을 알 수 있다.
은 감소하지 않는 수열이고 위로
유계,bounded이므로 다음의 극한값을 가진다.
이 홀수인 정수, 즉
이면, 처음
항의 합은
이다.
이므로
이고,
임에 따라
이다. 위 두 극한 식을 결합하면
(Thomas 13e ko 8.6 p494 정리15 교대급수판정법)
If
satisfies
(i)
(ii)
then the alternating series is convergent.
pf.
...
⇒ {S
2n} is increasing and
(괄호 안의 값은 0이상인데 이것을 계속 빼주니까)
⇒ {S
2n} is bounded above
by M.S.T.(monotonic sequence theorem), {S
2n} converges.
That is,
(짝수인 경우 증명)
Also
therefore,
hence
is convergent.
(이부분 비디오가 흐려서 CHK)
주의 ¶
이것은 수렴 여부를 알려주는 것이고, 이 판정법에 의해서 수렴이라는 판정이 되지 않았다고 해서 항상 발산인 것은 아니다.
AKA Leibniz's test