수렴판정법,convergence_test

무한급수,infinite_series는 수렴,convergence하는지, 아님 발산,divergence하는지 여부를 알기 위해 여러 판정법,test이 있다.

기하급수,geometric_series(=등비급수)는
$|r|<1$ 이면 수렴
$|r|\ge1$ 이면 발산

Sub:
일반항판정법 = n항판정법 = 발산판정법 - 가장 기본, 밑에 1.1. 참조
비교판정법,comparison_test
극한비교판정법,limit_comparison_test
적분판정법,integral_test
비율판정법,ratio_test
근판정법,root_test
교대급수판정법,alternating_series_test

p급수 판정법 - p급수,p-series
이거 적분판정법과 정확한 관계 mklink
tmp see Google:p급수 판정법

바이어슈트라스_M-판정법,Weierstrass_M-test - writing; tmp see Google:바이어슈트라스 판정법
디리클레_판정법,Dirichlet_test - writing; Google:디리클레 판정법
아벨_판정법,Abel_test - writing; Google:아벨 판정법
Cauchy_test or Cauchy_convergence_test - writing; Google:cauchy convergence test ... rel. 코시_수열,Cauchy_sequence
코시_응집판정법,Cauchy_condensation_test - writing; Google:cauchy condensation test



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1. 수렴 판정법 from Ivan Savov (p. 465)


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1.1. 발산 판정법

무한급수가 수렴하기 위한 유일한 방법은 큰 n에 대해 수열이 0으로 가는 것.

즉 수열의 극한이 0이 아니면 급수는 무조건 발산. CHK

WpKo:일반항_판정법 (term test)
AKA n항 판정법
코시 수렴 판정법의 특별한 경우임.

Libre:일반항_판정법
"일반항 판정법(limit term test, term test)는 일반항을 이용해 수열의 수렴 여부를 판정하는 정리" - Google:limit term test라는 말은 안 쓰이는 듯

WpEn:Term_test
= https://en.wikipedia.org/wiki/Term_test

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1.2. 절대수렴 (and 조건수렴)

만약 $\sum_n|a_n|$ 이 수렴한다면 $\sum_n a_n$ 또한 수렴한다.
$\sum_n|a_n|$ 이 수렴하면 급수 $\sum_n a_n$ 은 '절대수렴'한다고 말한다.
$\sum_n b_n$ 은 수렴하지만 $\sum_n |b_n|$ 은 발산하면 급수 $\sum_n b_n$ 은 '조건수렴'한다고 말한다.

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1.3. 교대급수 판정법

항들의 절대값이 감소 $(|a_n|>|a_{n+1}|)$ 하면서 $0$ 으로 가는 $(\lim_{n\to\infty}a_n=0)$ 수열 $a_n$ 의 교대급수는 수렴한다. 예를 들어 급수
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots$
은 감소하는 교대급수로, $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ 이기 때문에 수렴한다.

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1.4. 적분 판정법

만약 적분 $\int_a^{\infty}f(x)dx$ 가 유한하면 무한급수 $\sum_n f(n)$ 은 수렴한다.
만약 적분 $\int_a^{\infty}f(x)dx$ 가 발산하면 무한급수 $\sum_n f(n)$ 또한 발산한다.

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1.5. p>1이면 p-급수는 수렴

p급수,p-series $a_n=\frac1{n^p}$ 의 수렴 조건은 적분판정법을 통해 얻을 수 있다.
$p>1$ 이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$ 은 수렴하고,
$p\le 1$ 이면 발산한다.
$p=1$ 은 발산하는 조화급수,harmonic_series $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ 에 해당한다는 점을 주의하라.

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1.6. 직접 비교 판정법

때때로 급수 $\sum_n a_n$ 의 수렴 특성은, 수렴 특성이 알려진 다른 급수 $\sum_n b_n$ 과의 비교를 통해 이해될 수 있다. 한 가지 방법은 각 항의 값을 직접 비교하는 것이다. 이를 통해 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.
  • 만약 모든 $n$ 에 대해 $a_n\le b_n$ 이고, $\sum_n b_n$ 이 수렴하면, $\sum_n a_n$ 도 수렴한다.
  • 만약 모든 $n$ 에 대해 $a_n\ge b_n$ 이고, $\sum_n b_n$ 이 발산하면, $\sum_n a_n$ 도 발산한다.
첫 번째 결론은 압착원리로부터 나온 결과이다. $b_n$ 이 항상 $a_n$ 보다 크고, $\sum_n b_n$ 이 수렴하기 때문에 $\sum_n a_n$ 도 수렴해야 한다.
두 번째 결론은 이 논리를 역으로 사용한다. $\sum_n b_n=\infty$ 이고 $a_n\ge b_n$ 이기 때문에 또한 $\sum_n a_n=\infty$ 이어야 한다.

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1.7. 극한 비교 판정법

$n$ 번째 항의 상대적인 크기를 비교하여 급수를 비교할 수도 있다.
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ 이라고 가정하면 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.
  • 만약 $0<L<\infty$ 이면 $\sum_n a_n$ 과 $\sum_n b_n$ 은 모두 수렴하거나 모두 발산한다.
  • 만약 $L=0$ 이고 $\sum_n b_n$ 이 수렴하면 $\sum_n a_n$ 도 수렴한다.
  • 만약 $L=\infty$ 이고 $\sum_n b_n$ 이 발산하면 $\sum_n a_n$ 도 발산한다.

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1.8. n제곱근 판정법

$r$ 이 $r=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ 으로 정의될 때,
$r>1$ 이면 $\sum_n a_n$ 이 발산하고,
$r<1$ 이면 수렴한다.
만약 $r=1$ 이면, 판정법은 결정적이지 않다.

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1.9. 비율 판정법

가장 유용한 수렴 판정법. 수열에서 이어지는 항들의 비율의 극한을 계산한다.
$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
$R<1$ 이면 급수 $\sum_n a_n$ 은 수렴하고,
$R>1$ 이면 $\sum_n a_n$ 은 발산한다.
만약 $R=1$ 이면, 이 판정법은 결정적이지 않다.

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2. 코시_판정법 (이사감, 삭제)


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3. 판정법의 요약

일반항 판정법:
$a_n\to 0$ 이 아니면, 급수는 발산한다.

기하급수,geometric_series:
$|r|<1$ 이면 $\textstyle\sum ar^n$ 은 수렴한다.
$|r|>1$ 이면 급수는 발산한다.

p급수,p-series:
$p>1$ 이면 $\textstyle\sum 1/n^p$ 은 수렴한다. 그렇지 않으면 발산한다.

음수항을 갖지 않는 급수:
적분판정법,integral_test, 비판정법(비율판정법,ratio_test), 근판정법,root_test을 사용한다. 수렴여부를 아는 급수와 비교하는 비교판정법,comparison_test 또는 극한비교판정법,limit_comparison_test을 사용한다.

음수항을 갖는 급수:
$\textstyle\sum|a_n|$ 이 비판정법(비율판정법), 근판정법, 또는 다른 판정법에 의해 수렴하면 절대수렴,absolute_convergence하는 급수는 수렴하므로 $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴한다.

교대급수:
$\textstyle\sum a_n$ 이 교대급수판정법,alternating_series_test의 조건을 만족시키면 $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴한다.

(Thomas 13e ko chap8.6(교대급수와 조건수렴)의 마지막 box)
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4. Sources

몇 개는 http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=293242 11.6 절대수렴과 비판정법과 근판정법 ...에서

see also RR:판정법,test

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5. links ko

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6. links en