교대급수,alternating_series

양수항과 음수항이 번갈아 나타나는 무한급수,infinite_series.

급수,series가 양수항과 음수항을 교대적으로 가질 때, 이러한 급수를 교대급수(alternating series)라고 한다.[1]

이것의 각 항,term이
$a_n=(-1)^n|a_n|$
or
$a_n=(-1)^{n-1}|a_n|$ ///// 원래있던내용. 뭐보고 썼더라

그래서 교대급수,alternating_series는 //// wpen
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$
or
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n$
with $\forall n, a_n > 0.$


교대조화급수 alternating harmonic series
{
$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots$
이 급수는 수렴한다.
(Thomas)

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac1n = 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln 2$ 라는데 chk


정리 (교대급수의 어림 정리)

$S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n\;\;(b_n>0)$ 은 다음 조건을 만족하는 교대급수의 합이라 하자.

$1.\; b_{n+1}\le b_n\;(n=1,2,3,\ldots)$
$2.\; \lim_{n\to\infty}b_n = 0$

그러면 $S_n=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} b_k$ 라 할 때
$\left|S-S_n\right| \le b_{n+1}$ 이다.


교대급수 정리
  • 모든 $n$ 에 대하여 $a_n$ 과 $a_{n+1}$ 의 부호가 다르고,
  • 모든 $n$ 에 대하여 $|a_n|\ge|a_{n+1}|$ 이며,
  • $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ 이면,
교대급수 $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴한다.

라이프니츠가 발견.

(김홍종 미적분학 1+ p37)

$1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac{\pi}{4}$



Related:
부호,sign

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  • [1] Thomas 13e ko 8.6 교대급수와 조건수렴