기하급수,geometric_series

등비급수, 기하급수

아래에 등비급수 .. merge

기하급수 = (무한)등비급수 인가? CHK

실수 $a,r$ 에 대해
$\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$
꼴의 급수를 기하급수 또는 (무한)등비급수라고 한다.

수렴 여부는 $r$ 에 의해 결정된다.
(1) $|r|<1$ 이면 위 급수는 $\frac{a}{1-r}$ 로 수렴한다.
(2) $|r|\ge 1$ 이면 위 급수는 발산한다.

.... 또는 시작을 0부터 해서 (TBW, CHK)
$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=ar^0+ar^1+ar^2+\cdots=a+ar+ar^2+\cdots$

i.e.

정리. $a\ne 0$ 일 때
$\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \begin{cases}\frac{a}{1-r} & (|r|<1) \\ \textrm{diverge} & (|r|\ge 1)\end{cases}$

등비급수,geometric_series
{
$a\frac{1-r^n}{1-r}$
  • $|r|<1$ convergent
  • $|r|\ge1$ divergent
AKA 기하급수?

}

관련:
기하수열,geometric_sequence
등비수열의_합 - 같은 주제... MERGE?

$1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac1{1-x}$

$-1<x<1$ 에 대해 성립
하지만 $x=-1$ 인 경우 즉 $1-1+1-1+\cdots=\frac12$ 는 아님. 관련내용 급수,series#s-5(옛날 사람들의 생각)에.

등비급수
$\sum_{n\ge 1} q_n$
이 수렴,convergence iff $|q|<1.$ 아울러
$\sum_{n=0}^{\infty}q^n=1+q+q^2+\cdots=\frac1{1-q}$
이다. [1]
QQQ proof?

무한등비수열과 무한등비급수의 수렴 조건의 차이

무한등비수열 $\{ ar^{n-1} \}$ 의 수렴 조건:
$a=0$ 또는 $-1<r\le 1$
무한등비급수 $\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ 의 수렴 조건:
$a=0$ 또는 $-1<r<1$

$a\ne 0,\,r=1$ 일 경우,
무한등비수열은 첫째항 $a$ 의 값으로 수렴하지만,
무한등비급수는 계속 $a$ 가 더해져 발산한다.

Related:
수렴,convergence
수열,sequence > 무한수열,infinite_sequence and 등비수열=기하수열,geometric_sequence : 무한등비수열
급수,series > 무한급수,infinite_series and 등비급수=기하급수,geometric_series : 무한등비급수


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