뉴턴_방법,Newton_method

Newton's method

$x_1$ = 실근의 초기값
$x_n$ = 실근의 n번째 근사값
$x=x_n$ 에서의 접선은
$y-f(x_n)=f^{\prime}(x_n)(x-x_n)$
다시 말해,
$x-x_n=\frac{y-f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$
접선이 x축을 지나는 점을 구하는 것이 목적이므로
$y=0,\;x=x_{n+1}$
으로 놓으면
$x_{n+1}-x_n=\frac{-f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$
따라서
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$

(그래프에서 생각하면) $x_n$ 에서 곡선까지 위로 (수직으로) 올라가고, 접선을 따라 (사선으로) 내려와서 $x_{n+1}$ 을 구한다. 이것을 반복,iteration. (단 $f'(x_n)\ne 0$ 일 때)

단점: 항상 수렴하지는 않는다. 예를 들어 다음 함수 $f$ 에서는 (S자 모양 곡선임)
$f(x)=\begin{cases}-\sqrt{r-x},&x<r\\\sqrt{x-r},&x\ge r\end{cases}$
$x_0=r-h$ 에서 출발하면 $x_1=r+h$ 를 얻고, 그 다음 근사값들은 이 두 값을 교대로 취한다. 아무리 반복해도 처음 추측한 값보다 근에 더 가까워질 수 없다.







AKA: 뉴턴-래프슨(랩슨) 방법, Newton–Raphson method