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'''Rolle's theorem'''$f$ 가 세 조건
$[a,b]$ 에서 연속
$(a,b)$ 에서 미분가능
$[a,b]$ 에서 연속 ([[연속성,continuity]])
$(a,b)$ 에서 미분가능 ([[미분가능성,differentiability]])
$f(a)=f(b)$을 만족하면
$\Rightarrow \; \exists c \in (a,b)$ such that $f'(c)=0$
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$f'(c)=0$ 을 만족하는 $c$ 가 구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.----
일반화시키면 [[평균값_정리,mean_value_theorem,MVT]]가 됨.
'''롤 정리'''를 일반화시키면 [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]가 됨.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.롤의 정리는 평균값정리의 특별한 경우임.
롤의 정리를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.
'''롤의 정리'''는 평균값정리의 특별한 경우임.
'''롤의 정리'''를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.
= Proof =
1. $y=f(x)$ 가 상수함수인 경우에는 자명.
2. $y=f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a)=f(b)$ 이므로 $f(x)$ 는 어떤 $x=c\;(a<c<b)$ 에서 최대값 또는 최소값을 가짐. ([[최대최소정리,extreme_value_theorem]]를 이용)
2. $y=f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a)=f(b)$ 이므로 $f(x)$ 는 어떤 $x=c\;(a<c<b)$ 에서 최대값 또는 최소값을 가짐. ([[최대최소정리,extreme_value_theorem,EVT]]를 이용)
2-1. c가 최대값인 경우, $\forall\Delta x,\;f(c+\Delta x)\le f(c)$ 이므로 우변을 이항하면
$0\le\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\le0$
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2-2. 최소값인 경우도 최대값인 경우와 마찬가지의 방법으로 증명.저게 http://unolab.tistory.com/entry/%ED%8E%98%EB%A5%B4%EB%A7%88%EC%9D%98-%EC%A0%95%EB%A6%AC 페르마의 임계값 정리?
See also [[페르마_정리,Fermat_theorem]]
= Proof (again) =
함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 연속이므로, 이 구간에서 최대값 $M$ 과 최소값 $m$ 을 갖는다.
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From 서울대 기초수학교재(?)----
[[Libre:롤의_정리]]
http://planetmath.org/proofofrollestheorem[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338267&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 롤의 정리]]
https://everything2.com/title/Rolle%2527s+theorem
https://brilliant.org/wiki/rolles-theorem/
Google:롤의.정리
Up: [[미적분,calculus]]
Rolle's theorem
함수 가 에서 연속이고, 에서 미분가능일 때, 이면,
인 가 존재한다.
다시 말해, 을 만족하는 가 구간 안에 적어도 하나 존재한다.
롤 정리를 일반화시키면 평균값정리,mean_value_theorem,MVT가 됨.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.
롤의 정리는 평균값정리의 특별한 경우임.
롤의 정리를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.
롤의 정리는 평균값정리의 특별한 경우임.
롤의 정리를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.
Proof ¶
1. 가 상수함수인 경우에는 자명.
2. 가 에서 연속이고 이므로 는 어떤 에서 최대값 또는 최소값을 가짐. (최대최소정리,extreme_value_theorem,EVT를 이용)
2-1. c가 최대값인 경우, 이므로 우변을 이항하면
일 때 왼쪽 부등식이, 일 때 오른쪽 부등식이 성립.
그리고 가 에서 미분가능. 따라서
2-2. 최소값인 경우도 최대값인 경우와 마찬가지의 방법으로 증명.
일 때 왼쪽 부등식이, 일 때 오른쪽 부등식이 성립.
그리고 가 에서 미분가능. 따라서
저게 http://unolab.tistory.com/entry/페르마의-정리 페르마의 임계값 정리?
See also 페르마_정리,Fermat_theorem
Proof (again) ¶
함수 가 닫힌 구간 에서 연속이므로, 이 구간에서 최대값 과 최소값 을 갖는다.
1.
2. 이면 이므로 열린 구간 의 한 점 에 대해
이다. 따라서 이면
이고 가 에서 미분가능하므로
이다. 마찬가지로 이면
이고 가 에서 미분가능하므로
이다. 따라서 이다.
인 경우의 증명은 연습문제로 남긴다.
1.
2. 이면 이므로 열린 구간 의 한 점 에 대해
또는
이 성립한다. 만약 이면, 인 모든 에 대해인 경우의 증명은 연습문제로 남긴다.
From 서울대 기초수학교재(?)
롤의_정리
http://planetmath.org/proofofrollestheorem
수학백과: 롤의 정리
https://everything2.com/title/Rolle%27s theorem
https://brilliant.org/wiki/rolles-theorem/
http://planetmath.org/proofofrollestheorem
수학백과: 롤의 정리
https://everything2.com/title/Rolle%27s theorem
https://brilliant.org/wiki/rolles-theorem/
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