멱집합,power_set

집합 A의 모든 부분집합,subset을 원소로 가지며, 그 외의 원소가 없는 집합은, A의 멱집합.

집합 X의 멱집합은 X의 모든 부분집합의 집합.

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예

Ex. 만약
X = {a, b}
일 때 X의 멱집합은,
2X = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

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기호

집합 X, $X$ 의 멱집합의 기호는
𝒫(X), $\mathcal{P}(X),\, \mathscr{P}(X),$ (calligraphic/script uppercase P를 함수 이름처럼)
2X, $2^X$
이렇게? chk

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tmp from namu

유한집합에서도, 무한집합에서도 다음이 항상 성립.
$|A| < |\mathcal{P}(A)|$

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tmp from https://suhak.tistory.com/265

일단
$|\mathcal{P}(\mathbb{Z}^+)|=|\mathbb{R}|=c$
로 정의해놓음

어떠한 집합도, 그 원소들과 그 멱집합의 원소들을 일대일 대응시킬(전단사,bijection) 수 없다. 그 멱집합의 원소들이 항상 더 많다. - 대각선논법,diagonal_argument
// from Namu:초한기수 ; chk

Cantor는 어떤 집합,set의 크기(cardinality?)는 그 집합의 멱집합의 크기보다 항상 작음을 증명하였다.
$|\mathbb{Z}^+| < |\mathcal{P}(\mathbb{Z}^+)|$
i.e.
$\aleph_0 < 2^{\aleph_0}$

이 때, $\aleph_0$ 와 $c$ 사이에 기수(cardinality? 기수,cardinal_number? )가 존재하지 않는다는 가설,hypothesis이 연속체가설,continuum_hypothesis이다. 다시 말해
$\aleph_0 < |A| < c$
인 집합 $A$ 가 존재하지 않는다는 가설이다. 이 문제는 ZFC 공리에서 참인지 거짓인지 증명 불가능.

Sub:

power_set_theorem - 멱집합정리? 작성중. and 여기로 안옮긴내용 있는데 mv...

Rel.



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하이퍼그래프,hypergraph 정의에 등장함