보조방정식,auxiliary_equation

줄여서 aux eqn

CHK, MKLINK
미분방정식,differential_equation을 풀기 위해 used?
특성방정식,characteristic_equation이라 불리기도 하는?

Ex.
$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$
의 보조방정식은
$ak^2+bk+c=0$

그래서 이차방정식,quadratic_equation의 근의 공식 quadratic_formula 으로 풀어서 그것이 (다른 두 실근인지/중근인지/다른 두 허근인지)에 따라 원래 방정식의 해가 세 형태 중 하나로 정해진다.

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설명 1

상수계수 2계 1차 상미분방정식 (선형 상미분방정식)
$\frac{d^2y}{dx^2}+A\frac{dy}{dx}+By=0$
i.e.
$y''+Ay'+By=0$
의 보조방정식은
$m^2+Am+B=0$
이고, 이 방정식의 근에 따라
1. 두 실근 $m_1,m_2$
$y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}$
2. 중근 $m$
$y=e^{mx}(c_1+c_2x)$
3. 허근 $m=a\pm jb$
$y=e^{ax}\left( A_1 e^{jbx} + A_2 e^{-jbx} \right)$
$y=e^{ax}\left( c_1 \cos bx + c_2 \sin bx \right)$

via https://www.youtube.com/watch?v=wtJG2_jhkew

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Ex 1 - 응용

series RLC회로,RLC_circuit system 해석,
spring+mass+damper system 해석,
등등.
{
Example 1
RLC회로,RLC_circuit의 경우 방정식은 다음과 같다.
KVL에 의해
$L\frac{di}{dt}+Ri+\frac1C q = E(t)$
i.e.
$L\frac{d^2q}{dt}+R\frac{dq}{dt}+\frac1C q = E(t)$

Example 2
spring+mass+damper system { 정확한이름?? pagename TBD. WpEn:Mass-spring-damper_model ... Google:spring mass damper system } 의 경우 외부 힘(external force)이 없을 때
Force on mass = ma
Force by spring = kx (훅_법칙,Hooke_law)
Force by damper = ρ (dx/dt)
이 세 힘의 합은 0이므로, 방정식은 다음과 같다.
$m\frac{d^2x}{dt^2}+\rho\frac{dx}{dt}+kx=0$

(이런 상수계수 2nd order ODE에 대해)

이것의 standard_form 은
$\frac{d^2x}{dt^2}+2\lambda\frac{dx}{dt}+\omega^2 x=0$
where
$2\lambda=\frac{\beta}{m}$
$\omega^2=\frac{k}{m}$ ..... $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=2\pi f$ : natural_frequency in rad/s

이것의 auxiliary equation은
$m^2+2\lambda m+\omega^2 = 0$
근은
$m_1=-\lambda+\sqrt{\lambda^2-\omega^2}$
$m_2=-\lambda-\sqrt{\lambda^2-\omega^2}$

Case I: $\lambda^2-\omega^2 > 0$ overdamped // overdamping
$x(t)=c_1e^{m_1t}+c_2e^{m_2t}$

Case II: $\lambda^2-\omega^2 = 0$ critically damped // critical_damping?
$x(t)=c_1e^{m_1t}+c_2te^{m_1t}$

Case III: $\lambda^2-\omega^2 < 0$ under-damped // underdamping
$x(t)=e^{-\lambda t}\left( c_1\cos\sqrt{\omega^2-\lambda^2}t + c_2\sin\sqrt{\omega^2-\lambda^2} t \right)$

위 셋의 특성은 각각,
Case I: takes a long time to reach equilibrium
Case II: no overshoot, reach equilibrium in shortest time
Case III: overshoot 존재, oscillates for a while


(Beelee)


}