사이클로이드,cycloid

사이클로이드,cycloid (rev. 1.21)
식:
$x=a\cdot(\theta-\sin\theta)$
$y=a\cdot(1-\cos\theta)$
$a$ 는 굴렁쇠의 반지름, $r$ 기호도 쓰임

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KU강우석 2021-03-29

$x,y$ 로 나타내기

반지름 $r$ 인 원이 각 $t$ 만큼 굴러갔을 때,
굴러가면서 바닥에 닿은 길이 (부채꼴의 호의 길이) : $rt$
$x=rt-r\sin t$
$y$ 는 간단.
$y=r-r\cos t$
한 바퀴 굴러간다면 $0 \le t \le 2\pi$

다른 방법으로, 반지름 $r$ 인 원의 맨 아래에 있는 점이 시계방향으로 회전하는 매개변수 표현(?)
$\left( r\cos\left( -t-\frac{\pi}{2} \right), r\sin\left( -t-\frac{\pi}{2} \right) \right)$ 즉,
$\left( r\cos\left( \frac{\pi}{2}+t \right), -r\sin\left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$
$(-r\sin t,-r\cos t)$
의 중심이 $(0,r)$ 에서 $(rt,r)$ 까지 굴러간다고 가정하고, 두 좌표를 더한 것이 사이클로이드 식이 됨
$(-r\sin t,-r\cos t)+(rt,r)$

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θ를 소거하여 직교방정식으로 만드는 과정

$1-\cos\theta=\frac{y}{a}$
$\cos\theta=1-\frac{y}{a}=\frac{a-y}{a}$
$\theta=\cos^{-1}\frac{a-y}{a}$
여기에
$\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta$
을 대입하면
$x=a\left[\cos^{-1}\left(\frac{a-y}{a}\right)\mp\sqrt{1-\left(\frac{a-y}{a}\right)^2\right]$

이step이해가잘안됨,TOCLEANUP

에피사이클로이드,epicycloid : 원 밖
하이포사이클로이드,hypocycloid : 원 안 (큰 원 안에 작은 원이 내접하면서 구를 때, 작은 원 위의 한 점의 자취)
curtate_cycloid - 작성중
prolate_cycloid

이것들은 librewiki에 비교 정리 잘해놓음.

Cycloid는 brachistochrone problem과 tautochrone problem의 해,solution임. See 고전역학,classical_mechanics 맨 밑 부분.

parametric_curve이며 매개변수방정식,parametric_equation으로 나타는 게 편함. 매개변수,parameter


AKA 굴렁쇠선