chk: 일단 전제조건이
수열은 양항수열, 따라서 급수는 양항급수,
함수는 연속함수 and 감소함수 ...
그래서
이상적분,improper_integral 발산 여부에 따라
수열 말고 급수의 발산여부를 판단하는 방법??
급수의 수렴/발산 여부와 이상적분의 수렴/발산 여부가 동치(서로 필요충분조건)
i.e. 급수가 수렴 ⇔ 적분이 수렴, 급수가 발산 ⇔ 적분이 발산
함수
는
에서 양이고, 연속이고, 감소하는 함수.
수열
그러면 (급수
이 수렴) ⇔ (이상적분
가 수렴)
다시 말해,
- 만약 가 수렴하면 은 수렴.
- 만약 가 발산하면 은 발산.
시작이 항상
이 아니어도 된다.
가 항상 감소하지 않아도 되고, 중요한 것은
가 결국엔(ultimately) 감소해야 한다는 것이다.
(Stewart 9e p753)
정리(적분판정법)
가
에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라 하고
이라 하자. 이 때
(적분판정법) 연속함수
가 감소함수이고 항상
일 때, 급수
이 수렴할 필요충분조건은 적분
가 수렴하는 것이다.
(김홍종 미적분학 1+ p33)
(그림 1)에서
(그림 2)에서
위 둘에서
(오른쪽 부등식)
이 유한이면 우변이 유한이고 따라서
도 유한이다.
(왼쪽 부등식)
이 무한이면 좌변이 무한이고 따라서
도 무한이다.
// 이하 CHK
{
.....양항급수
이 수렴하기 위한 필요충분조건: 이상적분
가 수렴....
이춘호 공업수학 p91
(lower limit은 converge 여부에 영향이 없다)
finite:
converges.
infinite:
diverges.
가
에서 연속이고(continuous), 양이고(positive), 감소하는(decreasing) 함수이고,
이면
큰 수 N에 대해 정의역이
일 때도 integral test를 적용할 수 있다고 한다.
}