적분,integration

AKA integral calculus

$f(x)$ 로부터 도함수(미분,derivative) $\frac{d}{dx}f(x)$ 를 구하는 과정이 미분,differentiation이고, 그 반대인
$\frac{d}{dx}F(x)$ 로부터 $F(x)$ 를 구하는 과정이 역미분(antidifferentiation) 또는 적분(integration).
이 때 $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 역도함수(antiderivative)라고 함.


Sub:
리만_적분,Riemann_integral 작성중
르베그_적분,Lebesgue_integral 작성중
Stieltjes_integral 작성중
다르부_적분,Darboux_integral - 리만적분과...
라플라스_적분,Laplace_integral - tbw, 현재 푸리에_변환,Fourier_transform에서만 언급
다니엘_적분,Daniell_integral - writing
이토_적분,Ito_integral - writing
Wiener_integral - writing
Stratonovich_integral - writing
Skorokhod_integral - Ito의 확장 - writing
strong_integral - writing
Pettis_integral - writing
Bochner_integral - writing


[edit]

1. 적분 표기 및 기호


CHK
{
integral에 동그라미가 있으면,
∮ : 닫힌 경로(닫힌경로,closed_path)? 곡선(폐곡선)? 에 대한 적분일 때. 선적분,line_integral over a closed 곡선,curve(닫힌곡선,closed_curve) (for line integrals over a closed curve.)
∯ : 닫힌 곡면 (폐곡면)에 대한 적분일 때. 면적분,surface_integral over a closed 곡면,surface(닫힌곡면,closed_surface)
via [https]src

∫C 곡선 C 위의 선적분
∮C 폐곡선 C 위의 선적분
∬S 곡면 S 위의 면적분
∯S 폐곡면 S 위의 면적분
from [http]여기 오른쪽
}

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2. 자주 나타나는 생략

$\int dx=\int 1dx$

$\int \frac{dx}{x}=\int\frac1{x}dx$

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3. 중적분 multiple integral

중적분,multiple_integral
＝다중적분?

독립변수가 2개 이상인 함수를 적분하는 것


반복적분,repeated_integral https://mathworld.wolfram.com/RepeatedIntegral.html
과 차이? - (2022-02-13) mw 보면,
  • repeated integral - multiple times over a single variable
  • multiple integral - w.r.t different variables

반복적분,iterated_integral
이것도 kms에서 반복적분이라 하는데, 위와 차이 있음? 같은거?



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3.1. 이중적분,double_integral

$\iint$

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3.2. 삼중적분,triple_integral

$\iiint$

3차원에서 유계폐영역 $D$ 의 부피: (Thomas)
$V=\iiint_D dV$

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3.3. 선적분 line integral


QQQ 여기서 말하는 선은 엄밀히 직선,line이 아니라 curved line 곡선,curve?

[edit]

3.4. 면적분 surface integral


QQQ 여기서 말하는 면은 엄밀히 평면,plane이 아닌 곡면,surface?

area_integral과 구별. area integral은 더 단순한 것. (언급은 현재 surface_integral 페이지에)

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3.5. 부피적분 volume integral



AKA 체적적분

//mw 내용 매우 짧으므로 그대로 써보면:
{
A 삼중적분,triple_integral over three coord.s giving the 부피,volume within some 영역,region $G:$
$V=\iiint_G dxdydz$
}

체적적분에 발산,divergence 연산자를 적용하면 발산정리,divergence_theorem를 얻을 수 있음.

자주 쓰이는 것
$dv(=dxdydz)$ : 체적미분소(differential volume)
See 미분,differential

Misc
kms단어는 체적적분. 부피적분이라 하지 않은 이유는?



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4. 경로적분

으로 번역되는 단어는 contour/path integral이 있음.
  • contour integral - 유수 정리 (residue theorem)와 관련
    Go to 경로적분,contour_integral
  • path integral 경로적분
    • Feynman path integral 파인만 경로적분
    • Wiener path integral 위너 경로적분

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5. 편적분

편미분,partial_derivative의 반대. 특정 문자에 대해서만 (다른 문자는 상수로 보고) 적분하는 것.
이것은 특이하게도 검색하면 별로 안 나온다. 왜지?
용어가 따로 있는 것인가, 아님 편미분을 알면 너무 trivial한 개념이라 별도 항목으로 설명하고 있는 곳이 없는 것인가?
partial integration을 검색하면 부분적분,integration_by_parts이 나옴.

$f$ 가 직사각형 $R=[a,b]\times[c,d]$ 에서 적분가능한 이변수함수라고 하자.
$x$ 를 고정하고 $f(x,y)$ 를 $y=c$ 에서 $y=d$ 까지 $y$ 에 관해 적분한 것을 기호
$\int_c^d f(x,y)dy$
로 나타내기로 하자. 이것을 y에 관한 편적분이라 한다. (편미분,partial_derivative과 유사함에 주목하자.)
(Stewart 8e ko p823)

Example from https://youtu.be/aScph-gA_bY 8m
$\int\left(\frac{y}{x}+4x\right)dx=y\ln x+2x^2+h(y)$
적분상수 자리에 저렇게 함수가 나옴.

exact DE(RR:완전미방exact_DE)를 푸는 데 필수적이다.
$\frac{\partial u}{\partial x}=M,$
$\frac{\partial u}{\partial y}=N$
에서 각각
$u=\int Mdx+k(y),$
$u=\int Ndy+l(x)$
(Kreyszig)

얼마 안 되는 리소스:
한국어 사이트: https://blog.naver.com/leesu52/90176485810



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6. 적분의 성질 properties of integration

단조수렴정리(MCT) monotone convergence theorem
지배수렴정리(DCT) dominated convergence theorem
유계수렴정리(BCT) bounded convergence theorem
https://seoncheolpark.github.io/book/_book/6-4-properties-of-integration.html

[edit]

7. 적분가능, 적분가능성, 적분불가능, ..

Compare: 미분가능(성). see 미분,differentiation#s-3

표현
integrability 적분가능성 - mk page 적분가능성,integrability? - ok. 작성중
integrable 적분가능한
integrability theorem 적분가능 정리
Riemann integrable 리만 적분가능한
// from [http]kms '적분가능' 검색

Sub:
절대적분가능(absolute integrable) - 절대적분가능성 absolute_integrability?
{


정의가 이상적분,improper_integral 값이 무한한지 여부로... TBW


QQQ:
절대적분가능성은 $\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} |f| dx < \infty$ 라는데 그럼
적분가능성은 $\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f dx < \infty$ ?

Sub:
절대적분가능함수 absolutely_integrable_function
{
WpEn:Absolutely_integrable_function
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Absolutely_integrable_function

Up: 절대적분 , 적분가능함수 integrable_function
}



구간,interval을 분할,partition하고, 각 부분구간,subinterval에서 임의로 한 점,point을 택해 표본점,sample_point이라 하고, 리만_합,Riemann_sum을 정의. 리만합의 극한이 존재하면 적분가능하며 그 적분값을 정적분으로 정의.

디리클레_함수,Dirichlet_function는 리만적분 불가.
}

정리: $f$ $:[a,b]$ 에서 연속
⇒ $f$ 는 $[a,b]$ 에서 적분가능
(연속성,continuity → 적분가능성)
// via [http]김도형 7. 1:37

[edit]

7.1. 정리: 연속함수의 적분가능성

만일 함수 $f$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속, 또는 $f$ 가 그 구간에서 기껏해야 유한개의 도약불연속점만을 갖는다면, 정적분 $\int_a^b f(x)dx$ 는 존재하고 $f$ 는 구간 $[a,b]$ 에서 적분가능하다.
Dirichlet_function는 리만 적분을 갖지 못한다. 상합과 하합이 서로 다른 극한값으로 수렴.
(Thomas 13e ko p254)

[edit]

8. 정적분과 부정적분의 차이

정적분은 수,number이며, 부정적분은 임의 상수가 더해진 함수,function이다.
(Thomas 13e ko p275)

[edit]

9. 푸리에 적분 Fourier integral



Q: 다음 단어의 의미차는?
integration
integral
페이지명 integral에서 integration으로 바꿈.

WtEn:integral WtEn:integration
아주 대충,
integration is_a: 연산,operation(반대 개념은 반대 연산(or 역연산 ... inverse_operation / rel inverse_operator)인 미분,differentiation),
integral is_a: 결과,result(반대 개념은 도함수=미분,derivative) (정적분일 경우 값 / 부정적분일 경우 함수(esp 도함수 derivative))
인 듯 한데 rechk later ...
+ 범함수,functional, 변환,transformation esp 적분변환,integral_transform과의 비교/차이점 tbw...? 필요 있나? (아주 대충만 서술하면 범함수는 함수의 일종, 근데 뜻이 다양하서 짧게 서술 불가능하네... 아무튼 입력,input(≃argument≃parameter)이 함수라는 공통점. (예외 있는지 chk) 변환도 생각하보니 뜻이 분야에 따라 너무 다양.)

WpEn:Integration
WpEn:Integral
https://ncatlab.org/nlab/show/integral