적분표,integral_table

AKA: Table of integrals
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1. 중요 적분 공식

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1.1. 매우 쉬운

$\int x^a dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$

$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$

$\int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$

$\int\sec^2 xdx=\tan x+C$

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}x+C$

$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x+C$

$\int\sin x dx=-\cos x+C$

$\int\cos x dx=\sin x+C$
$\int \cos ax dx = \frac1a \sin ax + C$

$\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}+C$

$\int\ln x dx=x\ln x-x+C$

$\int\sinh xdx=\cosh x+C$
$\int\cosh xdx=\sinh x+C$


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1.2. 알아야 할 것

$\int\tan x dx = -\ln|\cos x|+C$
$\int\tan x dx = \ln|\sec x|+C$

$\int\csc x dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$
$\int\csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x|+C$ ([http]증명)

$\int\sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$

$\int\cot x dx=\ln|\sin x|+C$

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2. 역도함수 공식 (k는 0이 아닌 상수)

앞부분 생략.
함수 일반적인 역도함수
$e^{kx}$ $\frac1ke^{kx}+C$
$\frac1x$ $\ln|x|+C,\;x\ne 0$
$\frac1{\sqrt{1-k^2x^2}}$ $\frac1k\sin^{-1}kx+C$
$\frac1{1+k^2x^2}$ $\frac1k\tan^{-1}kx+C$
$\frac1{x\sqrt{k^2x^2-1}}$ $\sec^{-1}kx+C,\;kx>1$
$a^{kx}$ $\left(\frac1{k\ln a}\right) a^{kx} + C,\; a>0,\; a\ne 1$
from Thomas 13e ko p218

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3. ...


$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ (a>0) - 조건 필요?

$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\frac{x}{a}+C$ (a>0) - Stewart p471에 a>0 있어서 넣음

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\operatorname{arcsinh}\frac{x}{a}+C$

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\operatorname{arccosh}\frac{x}{a}+C$

$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac1a\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right|+C,\quad a>0$


$\int\tanh x dx=\ln\cosh x+C$

$\int\coth x dx=\ln|\sinh x|+C$

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4. 미분에서 쉽게 유추할 수 있는 것

즉 왼쪽 패턴이 보인다면 쉽게 적분 가능한 것

$f(x)$ $\int f(x)$
$e^x$ $e^x+C$
$\sin x$ $-\cos x+C$
$\cos x$ $\sin x+C$
$\sec^2x$ $\tan x+C$
$\csc^2x$ $-\cot x+C$
$\sec x\tan x$ $\sec x+C$
$\csc x\cot x$ $-\cot x+C$
$\frac1x\;(x>0)$ $\ln x+C$
$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ $f(x)g(x)+C$
$b^x$ $\frac{b^x}{\ln b}+C$
$\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ $\sin^{-1}x+C$
$\frac1{1+x^2}$ $\tan^{-1}x+C$
$\cosh x$ $\sinh x+C$
$\sinh x$ $\cosh x+C$
$\sin kx$ $-\frac{\cos kx}{k}+C$ k는 0이 아닌 상수
$\cos kx$ $\frac{\sin kx}{k}+C$ k는 0이 아닌 상수
$\frac1{\sqrt{1+x^2}}$ $\sinh^{-1}x+C$
$\frac1{\sqrt{x^2-1}}$ $\cosh^{-1}x+C$ x>1
$\frac1{1-x^2}$ $\tanh^{-1}x+C$ -1<x<1
$\frac1{x\sqrt{1-x^2}}$ $-\operatorname{sech}^{-1}x+C$ 0<x<1

Stewart, Table of Integration Formulas 에서, 17 18 19 20번. +C 생략.

$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\;\;a>0$
$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|$