비교판정법,comparison_test

AKA direct comparison test


양수일때만 가능. 이유 추가 tbw

모든 $n$ 에 대하여 $a_n>0,\;b_n>0$ 일 때
$\bullet\;\sum b_n$ 이 수렴하고 $a_n\le b_n$ 이면 $\sum a_n$ 도 수렴한다.
$\bullet\;\sum b_n$ 이 발산하고 $a_n\ge b_n$ 이면 $\sum a_n$ 도 발산한다.

$a_n,b_n>0$
i)
$\forall n\; a_n\le b_n,\; \sum b_n \textrm{ converges } \Rightarrow \sum a_n \textrm{ converges}$
ii)
$\forall n\; a_n\ge b_n,\; \sum b_n \textrm{ diverges } \Rightarrow \sum a_n \textrm{ diverges}$

$\sum a_n \& \sum b_n$ are series with positive terms.
$1.\;\sum b_n\text{ is conv. & }a_n\le b_n\Rightarrow \sum a_n\text{ is conv.}$
$2.\;\sum b_n\text{ is div. & }a_n\ge b_n\Rightarrow \sum b_n\text{ is div.}$ - ?? CHK a_n 아닌가? 어디보고적었지?

정리 2.4: 비교 검사

두 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n, \, \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 가
충분히 큰 모든 $n$ 에 대해 $a_n < K b_n$ 을 만족하고,
$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 역시 수렴한다.
여기서 $K$ 는 영보다 큰 상수이다.

한편 충분히 큰 모든 $n$ 에 대해 $a_n > k b_n$ 을 만족하고,
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 이 발산하면 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 역시 발산한다.
여기서 $k$ 는 영보다 큰 상수이다.

(이승준 p24)

[edit]

Ex

Ex.
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}?$

Sol.
앞의 몇 개는 상관이 없고
$\frac{\ln n}{n} > \frac1n$ for $n\ge3$ and $\sum\frac1n$ is div.
by comparison test, divergent.


Twins:
[https]수학백과: 비교판정법
{ merge to 본문
비교할 대상이 되는 다른 급수가 있어야 한다. 당연히...
여기엔 주로 p급수,p-series, 등비급수(기하급수,geometric_series)같이 수렴/발산 여부가 알려진 것을 (- 쉽게 알/판정할 수 있는 것을??) 사용...
}
WpKo:비교판정법
WpEn:Direct_comparison_test

Libre:비교판정법
"어떤 급수를 이미 수렴판정을 마친 다른 급수와 비교해 수렴 여부를 판정하는 방법"