코시-슈바르츠_부등식,Cauchy-Schwartz_inequality

코시-슈바르츠_부등식,Cauchy-Schwartz_inequality (rev. 1.25)
$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$
임의의 실수 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ 와 $y_1,y_2,\cdots,y_k$ 에 대해 다음이 성립.
$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ky_k)^2\le(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_k^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_k^2)$
$a_i,b_i\in\mathbb{R}$
$\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{\frac12} \left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{\frac12} \ge \left| \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right|$
벡터,vector로 나타내면
$|\vec{x}| |\vec{y}| \ge |\vec{x} \cdot \vec{y}| $
등식이 될 필요충분조건은 두 벡터가 평행? CHK
$\mathbb{R}^n$ 의 임의의 벡터 $\vec{x},\vec{y}$ 에 대해 다음이 성립.
$|\vec{x}\cdot\vec{y}|\le ||x||\, ||y||$
단, 등호는 $\vec{x},\vec{y}$ 중 하나가 다른 것의 실수배일 때만 성립.
from 계승혁, 인문사회계를 위한 수학 2-03-1
http://snui.snu.ac.kr/ocw/index.php?mode=view&id=1180

$|\vec{A}\cdot\vec{B}|^2\le(\vec{A}\cdot\vec{A})(\vec{B}\cdot\vec{B})$
$|\vec{A}\cdot\vec{B}|\le ||\vec{A}|| \cdot ||\vec{B}|| $

pf.
$0 \le (tA+B)\cdot(tA+B)$
$=t(A\cdot(tA+B))+B\cdot(tA+B)$
$=t(A\cdot(tA)+A\cdot B)+B\cdot(tA)+B\cdot B$
$=t^2(A\cdot A)+2t(A\cdot B)+B\cdot B$
$A\cdot A=0$ 인 경우, 부등식이 성립
$A\cdot A\ne0$ 인 경우, t에 대한 2차식인데 이게 항상 0 이상이므로, 판별식을 생각하면 부등식이 성립
$\vec{F},\vec{G}$ 가 둘 다 영벡터가 아니면
$\cos(\theta)=\frac{\vec{F}\cdot\vec{G}}{||\vec{F}|| \, ||\vec{G}||}$
그런데 $\forall\theta,\,|\cos(\theta)|\le 1$ 이므로 이것은 Cauchy-Schwarz 부등식을 암시한다.
$|\vec{F}\cdot\vec{G}|\le ||\vec{F}||\, ||\vec{G}||$
(O'Neil AEM (6.1))
함수에 대한 C-S 부등식은 함수공간,function_space#s-1 밑부분도 참조.