삼각부등식,triangle_inequality

Related: 절대값,absolute_value과 관련이 깊다.

사전 지식:
$\forall r\in\mathbb{R},\;-|r|\le r \le|r|$

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Theorem

$\forall a,b \in \mathbb{R},$
$|a+b| \le |a| + |b|$

복소수,complex_number에서도 성립.
$|z+w| \le |z|+|w|$

벡터,vector에서도 성립. For vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ in space,
$||\vec{a}+\vec{b}||\le||\vec{a}||+||\vec{b}||.$

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Proof 1

먼저 알아두어야 할 것.

* Let r>0, then |x|<r ⇔ -r<x<r

* a가 실수이고 r이 양의 실수일 때, $|x-a|<r$ ⇔ a-r < x < a+r
$-|a| \le a \le |a|$
$-|b| \le b \le |b|$
따라서 둘을 더하면, $a+b$ 의 범위는
$-(|a|+|b|) \le a+b \le |a|+|b|$
여기서 $|a|+|b|=r$ 이라고 생각하면, $-r<|a+b|<r \quad \Leftrightarrow \quad |a+b|<r$ 이므로
$\therefore |a+b| \le |a| + |b|$

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Proof 2

먼저 필요한 지식:

양수 A, B에 대해,
A²>B² iff A²-B²>0 iff (A+B)(A-B)>0 iff A-B>0 iff A>B
$|a + b|, |a| + |b|$ 는 양수이므로

$\left(|a|+|b|\right)^2 - |a+b|^2$
$=a^2 + 2|ab| + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$
$=2(|ab|-ab)$

ab≥0일 때는 위의 식은 0이 되고,
ab<0일 때는 $|ab|-ab = -ab-ab = -2ab > 0$ 따라서 위의 식은 양수가 된다. (등호는 ab≥0일 때)


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Proof 3

한줄로 요약하면
$0 \le |x+y|^2 = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \le |x|^2+2|x||y|+|y|^2 = (|x|+|y|)^2$

먼저 증명해야 할 theorem은,
$|x+y|\le |x|+|y|\;\;\forall x,y\in\mathbb{R}$
양변을 제곱하면,
$|x+y|^2\le (|x|+|y|)^2$
이것을 보이는 것이 목적이다.
증명. $0\le |x+y|^2$ ……(1)
$=(x+y)^2$
$=x^2+2xy+y^2$
$\le |x|^2+2|x| |y|+|y|^2$
$=(|x|+|y|)^2$ ……(2)

위에서 (1)과 (2)를 비교하면
∴ $|x+y|\le |x|+|y|$

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Proof 4


정리:
$\mathbb{R}^n$ 의 벡터,vector x, y에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
$||x+y||\le||x||+||y||$
단, 등호는 x, y 중 하나가 다른것의 k≥0 배일 때만 성립한다.


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Proof 5

실수 $a,b$ 가 있으면, 실수의 성질에서
$-|a|\le a\le |a|$
$-|b|\le b\le|b|$
둘을 더하면
$-(|a|+|b|)\le a+b \le|a|+|b|$
이고, $A=a+b,\,B=|a|+|b|$ 라 두면
$-B\le A\le B$ 즉
$|A|\le B$
이다. 그러므로
$|a+b|\le|a|+|b|$
이다.

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Proof 6

사전지식
  • $|a|=a$ 또는 $|a|=-a$ 이다. 그래서 제곱하면 $|a|^2=a^2$
  • $ab\le |ab| = |a| |b|$

시작
$|a+b|^2=(a+b)^2$
$=a^2+2ab+b^2$
$\le a^2 + 2 |a| |b| + b^2$
$=|a|^2 + 2 |a| |b| + |b|^2$
$=(|a|+|b|)^2$
따라서 위 중간의 부등호를 생각해 시작과 끝 식으로 정리하면
$|a+b|^2 \le (|a|+|b|)^2$
그리고 0 이상의 실수 $x,y$ 에 대해, $x^2\le y^2$ 이면 $\sqrt{x^2}\le\sqrt{y^2}$ 이므로 $x\le y$ 이다. $x=|a+b|$ 그리고 $y=|a|+|b|$ 라 하면 바로 위 부등식에서부터
$|a+b|\le |a|+|b|$
(Thomas 11e 연습문제 1.45)

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rel

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tmp links

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todo

수의 삼각부등식과 벡터의 삼각부등식을 나중에 분리.

QQQ 대충, (특히 벡터의) 삼각부등식은 '돌아가는 경로보다 직선경로가 더 짧다' 는 그런 것인데 ... Srch:Fermat_principle 변분법,variational_calculus 최소화,minimization , ... , 두 점,point을 사이의 shortest_path 가 직선,line이라는 것, ... 과 유사한데 정확한 관계가?