그린 정리는 스토크스_정리,Stokes_theorem의 특수한 경우임.

Stewart ¶

그린 정리는 단순닫힌곡선 $C$ 를 따른 선적분,line_integral과 // 단순닫힌곡선 = simply_closed_curve ? ... 단순곡선,simple_curve 닫힌곡선,closed_curve
$C$ 로 둘러싸인 평면영역 $D$ 에서의 이중적분,double_integral 사이의 관계를 알려준다.

(정리)
$C$ 는 평면에 놓은 양의 방향을 갖는 조각마다 매끄러운 단순닫힌곡선이라 하고,
$D$ 는 $C$ 로 둘러싸인 영역이라 하자.
$P$ 와 $Q$ 가 $D$ 를 포함하는 열린영역,open_region에서 연속인 편도함수를 가지면, 다음이 성립한다.

$\int_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

$D$ 의 양의 방향인 경계곡선에 대한 또 다른 기호는 $\partial D$ 이다. 따라서 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA = \int_{\partial D}P\,dx + Q\,dy$

(Stewart 8e ko p914)

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Zill ¶

$C$ 가 영역 $R$ 을 둘러싸는 구간별 매끄러운 단순 폐곡선(simple closed curve)이고
$P,\,Q,\,\frac{\partial P}{\partial y},\,\frac{\partial Q}{\partial x}$ 가 $R$ 에서 연속이면

$\oint_C P dx + Q dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

이다.

(Zill 6e ko chap9.12 p681)
위의 것은 평면 형태, 이후 Stokes 정리 앞부분(p697)에서 3차원 공간의 Green 정리 언급.

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Bazett ¶

Green's Theorem (Circulation-Curl Form)

$\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_R\left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} \right) dxdy$

For $C$ smooth, simple, closed curve enclosing $R,$
$\vec{F}=M\hat{\mathrm\imath}+N\hat{\mathrm\jmath}$ having $M,N$ having continuous first partials in an open region containing $R.$

좌변은 ccw circulation.
우변의 괄호 안은 circulation_density.

(https://www.youtube.com/watch?v=JB99RbQAilI 5m)

관련: 순환,circulation
{
관련: 회전,rotation 회전,curl 순환,cycle 순환순열/순환순서/etc. (related: 순열,permutation mentioned in: 레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol)
}

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