(다음 서술 맞는지 CHK!! 완벽하지 않은 부분 있으면 보강할 것)
정사각행렬(n×n행렬) A, 벡터 x, 스칼라값(
스칼라,scalar?
상수,constant배?) λ가 있다.
그리고 이런 행렬·벡터 = 스칼라·벡터 관계가 있다.
A x = λ x
벡터는 영벡터가 아니다. (x ≠
0) (영벡터라면 너무 당연하게 등식이 성립한다)
만약 위 식을 만족시킬 수 없다면, A의 고유벡터와 고유값은 없다.
A x = λ x, x ≠
0 이면 |A - λ I| = 0 이다.
저 (오른쪽의) 방정식을
특성방정식,characteristic_equation이라 하며,
이것은 λ가 미지수인 n차 방정식이며, 풀면 n개의 λ가 나온다. (n개의 근을 보통 이렇게 표기하는 듯. λ
1, λ
2, … λ
n) (← 고유값 구하는 방법)
그 λ들을 A x = λ x 에 대입하여 x를 구할 수 있다. (← 고유벡터 구하는 방법)
기호는 대개 λ,
여러 개 있는 경우
등으로 구분.
행렬
가 있고, 방정식
를 생각.
여기서
λ는 결정되어야 하는 스칼라,
는 결정되어야 하는 벡터이다.
모든 λ에 대해,
은 한 개의 해가 된다. (이것은 자명. 이 경우를 제외하고,)
어떤 벡터
에 대해 식이 성립하는 스칼라
를
의
고유값이라 하고,
이 벡터
를 고유값
에 대응하는
의
고유벡터,eigenvector라고 한다.
(Kreyszig 10e 번역판 p159)
이름, 명칭 ¶
고유값과
행렬식,determinant의 관계:
Cramer 정리 관련. 위의
: 특성행렬(characteristic matrix)
: 행렬 A의 특성행렬식(characteristic determinant)
:
특성방정식(characteristic equation) AKA 고유방정식(eigenvalue equation)
n차 정사각행렬의 고유값은 한 개 이상 n개 이하의 서로 다른 값.
순서: 먼저 고유값을 구하고 Gauss소거법으로 그에 대응하는 고유벡터를 구함.