QQQ 행렬식,determinant처럼 행렬,matrix의 특성을 설명하는 어떤 스칼라,scalar값인지?

(다음 서술 맞는지 CHK!! 완벽하지 않은 부분 있으면 보강할 것)

정사각행렬(n×n행렬) A, 벡터 x, 스칼라값(스칼라,scalar? 상수,constant배?) λ가 있다.
그리고 이런 행렬·벡터 = 스칼라·벡터 관계가 있다.

A x = λ x

벡터는 영벡터가 아니다. (x ≠ 0) (영벡터라면 너무 당연하게 등식이 성립한다)

만약 위 식을 만족시킬 수 없다면, A의 고유벡터와 고유값은 없다.

만약 위 식을 만족시킬 수 있다면, i.e.
식을 만족시키는 벡터 x와 스칼라 λ가 있다면,
그런 벡터 x는 A의 고유벡터,eigenvector이고
그런 스칼라 λ는 A의 고유값,eigenvalue이다.

A x = λ x, x ≠ 0 이면 |A - λ I| = 0 이다.
저 (오른쪽의) 방정식을 특성방정식,characteristic_equation이라 하며,
이것은 λ가 미지수인 n차 방정식이며, 풀면 n개의 λ가 나온다. (n개의 근을 보통 이렇게 표기하는 듯. λ₁, λ₂, … λ_n) (← 고유값 구하는 방법)
그 λ들을 A x = λ x 에 대입하여 x를 구할 수 있다. (← 고유벡터 구하는 방법)

기호는 대개 λ, $\lambda$
여러 개 있는 경우 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots$ 등으로 구분.

$n\times n$ 행렬

$A=[a_{jk}]$

가 있고, 방정식

$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$

를 생각.

여기서

λ는 결정되어야 하는 스칼라,
$\vec{x}$ 는 결정되어야 하는 벡터이다.

모든 λ에 대해, $\vec{x}=\vec{0}$ 은 한 개의 해가 된다. (이것은 자명. 이 경우를 제외하고,)
어떤 벡터 $\vec{x}\ne\vec{0}$ 에 대해 식이 성립하는 스칼라 $\lambda$ 를 $A$ 의 고유값이라 하고,
이 벡터 $\vec{x}$ 를 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 $A$ 의 고유벡터,eigenvector라고 한다.

식을 다시 쓰면

$(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}$

이것은 $n$ 개의 미지수 $x_1,\cdots,x_n$ (벡터 $\vec{x}$ 의 성분들)에 대한 선형대수방정식이다. 이 방정식들이 $\vec{x}\ne\vec{0}$ 인 해를 갖기 위해서는, 계수행렬 $A-\lambda I$ 의 행렬식이 0이 되어야 한다. 일단 간단히 $n=2$ 인 경우만 생각하면,

$\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$A-\lambda I$ 가 특이행렬,singular_matrix이 되기 위한 필요충분조건은 A의 특성행렬식(characteristic determinant)이라 부르는 행렬식,determinant $\det(A-\lambda I)$ 가 0이 되는 것이다. (일반적인 $n$ 에 대해서도 마찬가지.) 이것으로부터

$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{vmatrix}$
$=(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)-a_{12}a_{21}$
$=\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$

λ에 대한 이 이차방정식,quadratic_equation을 행렬 A의 특성방정식,characteristic_equation이라 하며, 이것의 해는 A의 고유값 $\lambda_1,\lambda_2$ 이다. (후략)
// mklink 특성다항식,characteristic_polynomial

(Kreyszig 10e 번역판 p159)

$A$ 가 $n\times n$ 행렬,matrix일 때, 연립일차방정식,system_of_linear_equations

$AK=\lambda K$

의 0이 아닌 해벡터 $K$ 가 존재하면,
수 $\lambda$ 를 $A$ 의 고유값(eigenvalue)이라 하고,
그 해벡터 $K$ 를 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 고유벡터,eigenvector라고 한다.
tmp def from https://pinkwink.kr/185

물리학에서 고유값 문제란? Eigenvalue Problem
https://freshrimpsushi.tistory.com/1637
{
$n\times n$ 행렬 $A$ 가 있을 때, 식

$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$

를 만족하는 $n\times1$ 행렬 $\vec{x}$ 와 상수 $\lambda$ 를 찾는 것을 고유값 문제라고 한다.
이러한 행렬 $\vec{x}$ 를 $A$ 의 고유함수,eigenfunction라 하고 $\lambda$ 를 $\vec{x}$ 의 고유값이라 한다.
}

행렬,matrix의 모든 고유치의 합은 대각합,trace과 정확히 같다는데. CHK

see 특성방정식,characteristic_equation

[edit]

이름, 명칭 ¶

특성근,characteristic_root은 고유값,eigenvalue과 동의어. (Src:

characteristic_root)

AKA 특성값(characteristic value), 잠정근(latent root) // characteristic_value latent_root
(고유벡터는 AKA 특성벡터(characteristic vector)) // 고유벡터,eigenvector
n×n 행렬 A의 모든 고유값의 집합을 A의 스펙트럼(spectrum)이라 함. 최대로 서로 다른 n개의 고유값을 가질 수 있음. // 스펙트럼,spectrum
A의 고유값의 절대값의 최대값을 A의 스펙트럼 반경(spectrum radius)이라 함. // 스펙트럼반지름,spectral_radius
// from [https]

https://rfriend.tistory.com/181

스펙트럼
기호: 행렬 A의 스펙트럼은 λ(A)
행렬,matrix의 스펙트럼,spectrum은, 그 행렬의 고유값,eigenvalue의 집합,set을 뜻함.
https://mathworld.wolfram.com/MatrixSpectrum.html

If $\lambda(A)=\lbrace \lambda_1,\cdots,\lambda_n\rbrace,$ then the determinant of $A$ is given by $\det(A)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

Spectrum_of_a_matrix
관련 정리:

스펙트럼_정리

Spectral_theorem .... 스펙트럼정리,spectral_theorem(writing)

고유값과 행렬식,determinant의 관계:

$\lambda$ 가 $\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$ 의 고유값이라는 것

⇔

$\det\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}-\lambda\end{bmatrix}=0$

Cramer 정리 관련. 위의
$A-\lambda I$ : 특성행렬(characteristic matrix)
$D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ : 행렬 A의 특성행렬식(characteristic determinant)
$A-\lambda I=0$ : 특성방정식(characteristic equation) AKA 고유방정식(eigenvalue equation)

n차 정사각행렬의 고유값은 한 개 이상 n개 이하의 서로 다른 값.

순서: 먼저 고유값을 구하고 Gauss소거법으로 그에 대응하는 고유벡터를 구함.

그 다음 고유공간,eigenspace을 정의. (Kreyszig정의)

만일 w와 x가 행렬 A의 같은 고유값,eigenvalue λ에 대한 고유벡터,eigenvector인 경우, w+x (단, x≠-w)와 kx (단, k는 임의의 0 아닌 스칼라)도 고유벡터가 된다. 따라서 같은 고유값 λ에 대응하는 고유벡터들은 0벡터와 함께 하나의 벡터공간,vector_space을 이루며, 이것을 고유값 λ에 대응하는 고유공간(eigenspace)이라고 부른다.

// from https://rfriend.tistory.com/182

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고유값 분해 ¶

고유값분해,eigendecomposition
고유분해가 아니고?
https://mathworld.wolfram.com/EigenDecomposition.html

tmp links ko
{
고유값분해(정사각행렬에만 적용) and 특이값분해(SVD, 직사각행렬에 적용)
https://rfriend.tistory.com/185

대각화(Diagonalization)와 고유값분해(eigenvalue decomposition)의 의미 (2019)
https://losskatsu.github.io/linear-algebra/eigen-decomposition/
}

Compare: 특이값분해,singular_value_decomposition,SVD

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미분방정식에서 말하는 고유값 ¶

상수 계수 선형 미분방정식,differential_equation의 고유값,eigenvalue은
그 미분방정식의 특성방정식,characteristic_equation(=보조방정식,auxiliary_equation)의 복소근 complex_roots 을 말한다.[1]

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tmp misc facts - chk ¶

nxn 행렬 고유값은 1, 2, ...., 최대 n개? 중 하나?
고유값은 중복이 가능하다

// examples: tmp; from https://youtu.be/b9mVtUlt2Ic?t=239 양자시뮬레이션 특강(1) (ku최만수)
$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 의 eigenvalues: $E=\pm 1$
$\begin{bmatrix}0&\Omega_1&\Omega_2\\\Omega_1^*&0&0\\\Omega_2^*&0&0\end{bmatrix}$ ... $E=\pm\sqrt{|\Omega_1|^2+|\Omega_2|^2},\;0$ - zero eigenvalue 한 개
바로 이후에 이어짐 : 이런 경우는 zero-eigenvalues 가 몇 개인가? / 특이값분해,singular_value_decomposition,SVD / ...

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