연립일차방정식,system_of_linear_equations

AKA 선형방정식계, 선형연립방정식

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해의 개수와...

일반적으로, 연립일차방정식에 대하여 다음 중 하나가 성립한다.
  1. 유일한 해를 갖는다.
  2. 해를 갖지 않는다.
  3. 무수히 많은 해를 갖는다.
즉 해의 개수는 {0, 1, ∞} 셋 중 하나. 다른 가능성은 없음.
이건 선형시스템의 해집합,solution_set의 카디널리티,cardinality가 세 종류밖에 없다는 것? - CHK

연립방정식이 일치(consistent) : 하나 이상의 해가 있음
연립방정식이 불일치(inconsistent) : 해가 없음

해가 있으면 consistent
해가 없으면 inconsistent

해,solution의 개수에 따라 세 가지 경우:
consistent (한 해)
consistent (무한히 많은 해) .... TBW 부정방정식,indeterminate_equation과 관계
inconsistent (해 없음)

선형방정식계를 해의 개수에 따라 분류하는 것? - chk
해가 없음 0 inconsistent
해가 있음, 오직 한 개 1 consistent
해가 있음, 무수히 많이 ∞ consistent
위 표의 마지막 열은 다시 말해
해가 존재 : consistent
해가 없음 : inconsistent

https://i.imgur.com/OMDQ4tH.png


표기법으로 행렬표기법이 있는데 (matrix_notation)
변수들의 계수,coefficient를 가지고 행렬,matrix로 표현하는 것.
그것이
계수행렬,coefficient_matrix
이고, 상수항까지 (오른쪽에?) 포함시키면
첨가행렬,augmented_matrix
CHK


....이하 CHK
그리고 변형 과정에서 유일한 해를 갖는지, 해를 가지지 않는지를 알 수 있으며
선행성분의 수 r (계수,rank?) 과 미지수의 수 n의 크기비교도 중요
내용은 다음 사이트 참조.
see https://wikidocs.net/75296


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2. 표현

일치와 불일치: 위에서 해의 개수와 관련되므로, 그 바로 뒤에 언급했음.
(또 다른 번역은
모순이 없다(consistent): 연립방정식이 적어도 하나의 해를 가짐(즉 유일해 또는 무한히 많은 해를 가짐)
모순이 있다(inconsistent): 해를 갖지 않음
이것은 Kreyszig Ch7)

제차와 비제차: 중요해서 밑에 section이 있음.

과잉한정(overdetermined): 연립방정식이 미지수보다 더 많은 방정식을 가짐
과소한정(underdetermined): 미지수보다 적은 방정식을 가짐

(Kreyszig Ch7)

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3. 선형시스템의 동치 equivalence

선형연립방정식(선형시스템)의 동치,equivalence란 두 선형시스템이 같은 해집합,solution_set을 갖는 것.

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4. 행렬의 가역성과 방정식의 해 사이 관계

n차 정사각행렬 A가 가역이고(따라서 해당하는 역행렬이 있고)
b가 ℝn의 벡터일 때, 연립방정식
Ax=b
는 다음 유일한 해를 가진다.
x=A-1b

(from 고딩 책, easy, del ok)

역행렬,inverse_matrix과 연립일차방정식의 해,solution. 방정식
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}{x\choose y}={p\choose q}$
에서,
① $ad-bc\ne 0$ 일 때, 오직 한 쌍의 해가 (다음 식) 존재한다.
$\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}\binom{p}{q}$
② $ad-bc=0$ 일 때, 해가 무수히 많거나(부정) 해가 없다(불능).

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5. 풀기

(행렬)(벡터)=(벡터) 꼴로 먼저 나타낸다.
Ax=b
여기서 A, x, b는 각각 계수행렬coefficient_matrix, 미지수벡터(unknown vector), 상수벡터(constant vector)라 불린다.[1]

A의 역행렬,inverse_matrix A−1을 구해 왼쪽에 곱하면
x=A−1b

물론 저렇게 하려면 A의 역행렬이 존재해야 한다.
(i.e. A가 가역행렬,invertible_matrix = 정칙행렬,regular_matrix = 비특이행렬 non-singular matrix 이어야 한다.)[2]

A의 역행렬이 존재하지 않으면,
(i.e. A가 비가역행렬 non-invertible matrix = 특이행렬,singular_matrix = 퇴화행렬,degenerate_matrix{ Google:퇴화행렬 Google:degenerate_matrix } 이면,)
TBW

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5.1. ERO

선형대수,linear_algebra적 방법...
계수행렬...보다는 첨가행렬,augmented_matrix로 나타낸 다음
기본행연산,elementary_row_operation,ERO 세 연산들을 사용해서
echelon_form 으로 변환하면 답이 보임.
reduced_echelon_form(REF) 으로까지 변환하면 더 명확히 보임.


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5.2. Ax=b 풀이법 ... CHK TMP CLEANUP DELME

// https://blog.naver.com/lado135/221879792739 (1)
// https://blog.naver.com/lado135/221884748041 (2)
Ax=b의 해가 존재하기 위한 조건:
1. b가 A의 열공간,column_space안에 있다.
2. 어떤 A의 행의 조합이 영행을 만든다면, 같은 조합으로 b도 0(?)을 만들어야 한다.
둘은 같은 말이라고.

미지수가 식보다 많을 경우 모든 해,solution을 찾는 법.
$X_p$ : particular solution
$X_c$ : complete solution
$X_n$ : nullspace solution - see 영공간,null_space
free variables에 0을 넣어서 back substitution을 통해 particular solution $(X_p)$ 을 구한다.
다음 $X_{complete}:X_{particular}+X_{nullspace}$
(CLEANUP)

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6. 제차연립방정식과 비제차연립방정식

$n$ 개의 미지수 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 을 갖는 $m$ 개의 선형연립방정식은
$\begin{matrix} a_{11}x_1&+&\cdots&+&a_{1n}x_n &=& b_1 \\ a_{21}x_1&+&\cdots&+&a_{2n}x_n &=& b_2 \\ &&\vdots&& \\ a_{m1}x_1&+&\cdots&+&a_{mn}x_n &=& b_m \end{matrix}$
여기서
● $b_j$ 가 모두 0이면 제차연립방정식(homogeneous system),
● 하나라도 0이 아니면 비제차연립방정식(nonhomogeneous system).

제차이면, 자명한 해 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ 이 있음.

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7. 특이해와 제차해

연립일차방정식,system_of_linear_equations의 해,solution: 특이해와 제차해
예를 들어
$\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}$
↔
$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$
A가 정칙이면, ↔
$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$

A가 정칙이 아니면
$ad-bc=0$
$ad=bc$
$a:b=c:d$
즉 두 직선이 collinear.

두 직선이 일치함(해가 무수히 많음)을 가정하면, 이 연립방정식의 무수히 많은 모든 해를 특이해와 제차해의 조합으로 표현 가능.

특이해: 다음을 만족하는 $(x_0,y_0)^t$
$A\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$

제차해: 위 식에서 우변 상수를 0으로 했을때의 해 $(x_1,y_1)$ (단 $x_1$ 과 $y_1$ 중에 적어도 하나는 0이 아님. 책에선 $(x_1,y_1)\ne(0,0)$ 으로 표기.)
$A\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$

임의의 상수 c에 대해, 다음 $(x,y)$ 는 모두 원래 방정식의 해가 됨
$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}$
이것은 A를 곱하면 확인 가능
$A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}+cA\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$

직선으로 나타내면
특이해는 직선상의 한 점에 대응
제차해는 직선 방향을 나타내는 벡터에 대응

(나카이 에츠지)

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8. 수반동차연립방정식

associated homogeneous system of linear equation
Ax=b에 대해 Ax=0을 뜻함. https://wikidocs.net/75598 의 5. 참조.
수반동차연립방정식의 해는 일차연립방정식의 해에 특수해를 더해 얻는다고.

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9. 선형연립방정식과 수반동차연립방정식의 해집합 사이의 관계

선형연립방정식의 해가 유일함
수반동차연립방정식의 해가 유일해서 영벡터밖에 없음
선형연립방정식의 해가 무수히 많음
수반동차연립방정식이 자명하지 않은 해를 가짐
선형연립방정식의 해가 존재하지 않음
수반동차연립방정식의 해공간과 별도로 특수한 해 x0가 없다는 것
from https://wikidocs.net/75791; CHK

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10. tmp, chkout

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