$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n=b_1-b_2+b_3-b_4+b_5-b_6+\cdots\;(b_n>0)$

이 두 조건

(i) 모든 $n$ 에 대하여 $b_{n+1}\le b_n$
(ii) $\lim_{n\to\infty}b_n=0$

을 만족하면, 수렴,convergence한다.

(Stewart)

급수

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} u_n = u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots$

이 다음의 세 가지 조건을 만족시키면 수렴한다.

모든 $n$ 에 대해 $u_n>0$
적당한 정수 $N$ 이 존재하여 모든 $n\ge N$ 에 대해, $u_n\ge u_{n+1},$ 즉 양수 $u_n$ 은 결국 감소한다.
$u_n\to 0$

증명
$N=1$ 이라고 하자. $n$ 이 짝수인 정수, 즉 $n=2m$ 이면 처음 $n$ 항의 합은 다음과 같다.

$s_{2m}=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\cdots+(u_{2m-1}-u_{2m})$

$=u_1-(u_2-u_3)-(u_4-u_5)-\cdots-(u_{2m-2}-u_{2m-1})-u_{2m}$

첫 번째 줄 식에서 괄호 안 각 항이 0 또는 양수이므로,
$s_{2m}$ 은 음이 아닌 항들의 합임을 알 수 있다.
따라서 $s_{2m+2}\ge s_{2m}$ 이고 $\lbrace s_{2m} \rbrace$ 은 감소하지 않는 수열이다.
두 번째 줄 식에서 $s_{2m}\le u_1$ 임을 알 수 있다. $\lbrace s_{2m} \rbrace$ 은 감소하지 않는 수열이고 위로 유계,bounded이므로 다음의 극한값을 가진다.

$\lim_{m\to\infty}s_{2m}=L$

$n$ 이 홀수인 정수, 즉 $n=2m+1$ 이면, 처음 $n$ 항의 합은 $s_{2m+1}=s_{2m}+u_{2m+1}$ 이다. $u_n\to 0$ 이므로

$\lim_{m\to\infty}u_{2m+1}=0$

이고, $m\to\infty$ 임에 따라

$s_{2m+1}=s_{2m}+u_{2m+1} \to L+0 = L$

이다. 위 두 극한 식을 결합하면 $\lim_{n\to\infty} s_n = L$
(Thomas 13e ko 8.6 p494 정리15 교대급수판정법)

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n=b_1-b_2+b_3-b_4+\cdots\;\;(b_n>0)$

satisfies

(i) $\forall n,\,b_{n+1}\le b_n$
(ii) $\lim_{n\to\infty}b_n=0$

then the alternating series is convergent.

pf.
$S_2=b_1-b_2\ge 0$
$S_4=S_2+(b_3-b_4)\ge S_2$

...

$S_{2n}=S_{2n-2}+(b_{2n-1}-b_{2n})\ge S_{n-2}$
⇒ {S_2n} is increasing and
$S_{2n}=b_1-(b_2-b_3)-(b_4-b_5)-\cdots\le b_1$

(괄호 안의 값은 0이상인데 이것을 계속 빼주니까)

⇒ {S_2n} is bounded above

by M.S.T.(monotonic sequence theorem), {S_2n} converges.
That is, $\lim_{n\to\infty}S_{2n}=S.$ (짝수인 경우 증명)

Also $\lim_{n\to\infty}S_{2n+1}=\lim_{n\to\infty}(S_{2n}+b_{n+1})=S+0=S$
therefore, $\lim_{n\to\infty}S_n=S$
hence $\sum (-1)^{n-1}b_n$ is convergent.
(이부분 비디오가 흐려서 CHK)

이 문단 from http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=293242 11.5 교대급수

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