단진자,simple_pendulum

관계?
진동운동,oscillatory_motion
단순조화진동,simple_harmonic_oscillation

단진자의 흔들리는 정도(angle of swing)가 작으면, 단조화운동,simple_harmonic_motion,SHM과 비슷하다고 한다.

단진자의 주기는
$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$
여기서
T: 주기,period
L: 길이
g: 중력가속도

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장인수: 기본

먼저 각속도,angular_velocity $\omega=\frac{\theta}{t}$ 에서
$\theta=\omega t$ 이다.

진동의 중심에서의 변위,displacement는
$x=A\sin(\theta)=A\sin(\omega t)$
속도,velocity는
$v=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(A\sin(\omega t))=A\omega\cos(\omega t)$
가속도,acceleration는
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(A\omega \cos(\omega t))=-A\omega^2\sin(\omega t)$

그래서, $a$ 와 $x$ 를 비교하면 다음 관계가 있다.
$a=-\omega^2 x$ (여기서 진동의 중심 $x=0$ 에서 가속도가 0임을 볼 수 있다)
그리하여 힘(복원력)은 $F=ma$ 에서
$F=-m\omega^2x$

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장인수: 용수철진자

질량 $m$ 인 추가 매달린 용수철 진자와 훅_법칙,Hooke_law을 생각.
$F=ma=-m\omega^2x$
$F=-kx$
위 두 힘은 같으므로
$m\omega^2=k$
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
그렇다면 주기,period는? $\omega=\frac{\theta}{t}=\frac{2\pi}{T}$ 에서
$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ (용수철진자의 주기)

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장인수: 단진자

(이건 용수철 말고 실에 추가 매달린 진자)
실의 길이 $\ell$ 이고 변위 $x$ 이다.
보통 θ가 10°이하 , 0.2 rad 이하 정도일 때만 생각한다.
그러면 대략
$\sin\theta\approx \frac{x}{\ell}$ 로 놓을 수 있다.

(그림이 있어야 되는데...) 추에 작용하는 힘은
중력 $mg$
장력 $T$
장력 반대 방향의 힘 $mg\cos\theta$
복원력 방향의 힘 $mg\sin\theta$
가 있다.

복원력은
$F=-mg\sin\theta$
이다. 위의 $\sin\theta$ 근사식을 대입하면
$F=-mg\left(\frac{x}{\ell}\right)=-m\left(\frac{g}{\ell}\right)x$
그런데 위쪽에서 알아본 복원력은
$F=-m\omega^2x$
둘을 같게 놓으면
$\omega=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$

그렇다면 주기는?
$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{\ell}}}=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ (단진자의 주기)

ex. 실의 길이가 짧아지면 주기가 짧아진다.