드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula

Difference between r1.12 and the current

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'''de Moivre's formula, de Moivre's theorem, de Moivre's identity''' ([[공식,formula]] [[정리,theorem]] [[항등식,identity]] 모두에 해당)

## via Wikipedia (en)

$(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx$

$\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$

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관련: [[오일러_공식,Euler_formula]]

see also [[복소수,complex_number#s-7.1]] - mv to here?

복소수의 거듭제곱과 관련?

복소수의 거듭제곱([[거듭제곱,power]] or [[멱,power]] or [[지수,exponentiation]])과 관련?

TBW 지수함수꼴 적을 것.

TBW Ggl:"드무아브르 지수함수꼴" 적을 것.

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복소수 $z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 를 $n$ 제곱 한다면,

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드무아브르 공식에 $n=2$ 를 대입하면, 다음과 같이 실수부와 허수부를 써서 배각공식을 유도 가능.
$(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+(2\sin\theta\cos\theta)i=\cos(2\theta)+\sin(2\theta)i$

복소수에 관한 미니 지도서: http://paste.lisp.org/display/133628 (끝에 Common Lisp의 복소수 언급)

'복소수에 관한 미니 지도서': http://paste.lisp.org/display/133628 (끝에 Common_Lisp의 복소수 언급)

(Ivan Savov p221)

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Up: [[공식,formula]]

[[정리,theorem]] [[항등식,identity]]

de Moivre's formula, de Moivre's theorem, de Moivre's identity (공식,formula 정리,theorem 항등식,identity 모두에 해당)

$(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx$

$\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$

TBW

복소수 $z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 를 $n$ 제곱 한다면,

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=z^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}=\cos n\theta+i\sin n\theta$

드무아브르 공식에 $n=2$ 를 대입하면, 다음과 같이 실수부와 허수부를 써서 배각공식을 유도 가능.

$(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+(2\sin\theta\cos\theta)i=\cos(2\theta)+\sin(2\theta)i$

'복소수에 관한 미니 지도서': http://paste.lisp.org/display/133628 (끝에 Common_Lisp의 복소수 언급)

(Ivan Savov p221)

https://mathworld.wolfram.com/deMoivresIdentity.html - 드무아브르 항등식
{
여기선 지수형부터 먼저 설명하고 거기에 Euler formula를 대입. 원래 이런건가?

$e^{i(n\theta)}=(e^{i\theta})^n$

따라서 Euler formula에 의해

$\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$

쌍곡선함수,hyperbolic_function에서도 비슷한 항등식이 성립

$(\operatorname{cosh}z+\operatorname{sinh}z)^n = \operatorname{cosh}(nz)+\operatorname{sinh}(nz)$

}