상관계수,correlation_coefficient (rev. 1.40)

기호

$r,\;r_{x,y}$
Corr(X, Y)
$\rho_{X,Y}$

상관,correlation의 정도가 얼마인지 정량적으로 값을 매긴/분석한 것.

변량,variate이 두 개가 있을 때, 두 변량 사이 상관관계가(상관,correlation이) 어느 정도인지를 나타내는 수치(계수).
//QQQ 이름이 상관수 상관치 상관수치 상관값 ... 이 아닌 상관계수,coefficient인 이유?

단위,unit와 관련없는 ~~축도?~~(분명 측도,measure)를 얻기 위해, 두 확률변수 X, Y가 있을 때, X, Y의 공분산,covariance을, X, Y의 표준편차,standard_deviation의 곱으로 나누어 준 값을 X, Y의 상관계수라 한다.

$r=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}$

물백과사전
//QQQ 그럼 dimensionless?

x, y의 상관계수: x, y의 공분산을 (x의 표준편차와 y의 표준편차의 곱)으로 나눈 것.[1]

분석 대상은 사전에 따라 변인(variable), 확률변수(random variable) 등. 개수는 반드시 2개.

1. tmp from https://umbum.dev/1006
2. tmp 내적과의 유사성
3. tmp CLEANUP
4. 값, 값의 분석
5. tmp tomove
6. 공분산과.... 의 관계 서술 정확히.
7. 상관계수의 해석
8. 여러 상관계수

[edit]

1006 ¶

$r_{XY}=\frac{\sum_{i}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i}^{n}(X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2}}$

X, Y는 vector.

각 vector의 표본평균,sample_mean을 구해서, 0이 아닌(??) 각 원소에서 빼주어 정규화,normalization하고,
normalized vectors 사이의 코사인유사도,cosine_similarity(curr see 유사도,similarity)를 계산한 것.

[edit]

2. tmp 내적과의 유사성 ¶

https://angeloyeo.github.io/2019/08/20/correlation_and_inner_product.html 에 의하면
내적,inner_product
스칼라곱,scalar_product,dot_product과 유사

[edit]

3. tmp CLEANUP ¶

.......TBW S는무엇인지

$=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i-\bar{x}}{S_x}\right)\left(\frac{y_i-\bar{y}}{S_y}\right)$
$=\frac1{S_xS_y}............$

CHK
{
$\operatorname{Corr}(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}$
}

tmp from https://throwexception.tistory.com/1037
{
피어슨의 상관계수

공분산,covariance을 두 변수의 표준편차,standard_deviation로 표준화 시킨 값.
공분산 : Cov(x, y) = E(xy) - E(x)E(y)
상관계수 : Corr(x, y) = Cov(x, y)/(std(x) * std(y))
-1에서 1사이의 값을 가지며, |corr|이 1에 가까울수록 강한 선형 관계를 가짐.

}

[edit]

4. 값, 값의 분석 ¶

항상 다음 부등식을 만족.

$-1\le r\le 1$

여기서 양 극단의

+1은
−1은
그리고 0은 선형 상관 관계가 없음을 뜻함.

상관,correlation	상관계수,correlation_coefficient
양의 상관관계	$r>0$
음의 상관관계	$r<0$
무상관	$r=0$
가장 센 잠재적 일치(?)	$\pm1$
가장 센 불일치	$0$
완전한 비례관계	$+1$
완전한 반비례관계	$-1$
관계없음	$0$

[2] [3] [4]

항상 -1과 +1사이
0이면 두 변수가 무관하다는 뜻
모두 양의 기울기의 직선 위에 있으면, 1
모두 음의 기울기의 직선 위에 있으면, -1
-1에 매우 가까우면, 강한 음의 상관관계
+1에 매우 가까우면, 강한 양의 상관관계
0에 매우 가까우면, 상관관계가 거의 없음

[edit]

5. tmp tomove ¶

from

경제학사전
{
* 두 변량 사이 상관관계가 원인관계를(X, Y 중 하나가 다른 하나의 원인이나 설명요인임을) 뜻하는 것은 아니다.
* 이런 분석을 상관분석,correlation_analysis(curr see 상관,correlation)이라 한다.
상관계수 σ_xy의 수학적 정의는 // rho 아닌지???

$\rho_{xy}=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$

(단 σ_x>0, σ_y>0) 여기서,

$\sigma_x$ : 변량 X의 표준편차,standard_deviation
$\sigma_y$ : 변량 Y의 표준편차,standard_deviation
$\sigma_{xy}$ : 두 변량 X, Y의 공분산,covariance

// (공분산 $\sigma_{xy}$ 설명)
한편 공분산,covariance은 $X,Y$ 가 $f(x,y)$ 라는 동시분포(joint distribution)에 따를 때, 각 변량 $(X,Y)$ 에서 그 평균치 $(\mu_x,\mu_y)$ 를 뺀 곱의 기대치로 정의된다. 즉

$\sigma_{xy}\equiv\mathrm{E}[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]$
$\equiv \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu_y)(y-\mu_x) f(x,y) dx dy$

이 때 $\sigma_{xy}$ 가

양이면 두 변량 X, Y의 변화는 대체로 같은 방향성을 가지며,
음이면 반대의 방향성을 갖는다.

// (상관계수 $\rho_{xy}$ 의 성질)

(이게 무슨 기호?????)
$-1 \le \rho_{xy} \le 1$
$\rho_{xy}=0$ 이면 X, Y 사이에는 상관관계가 전혀 없다.
$\rho_{xy}=\pm 1$ 이면 X, Y에는 완전한 양/음의 상관관계, 즉 선형관계(linear relationship)가 있다. (See 선형성,linearity)