결합확률분포,joint_probability_distribution

확률변수,random_variable가 여러 개(두 개 이상)일 때.


아래 셋 비교


// ㄷㄱㄱ Week 9-1 p5
Joint PMF and PDF
결합 pmf와 pdf의 관계에 대한 요약표.

Discrete RVs Continuous RVs
joint joint pmf $P_{X,Y}(x,y)=\text{Pr}[X=x,Y=y]$ joint pdf $f_{X,Y}(x,y)=\frac{\text{Pr}[x<X\le x+dx,y<Y\le y+dy]}{dxdy}$ 이산형은 그냥 $X=x,Y=y$ 일 확률로 정의,
연속형은 $x,x+dx,y,y+dy$ 로 이루어진 작은 area(영역,region?)으로 정의.
marginal marginal pmf $P_X(x)=\sum_{y\in S_Y} P_{X,Y}(x,y) \\ P_Y(x)=\sum_{x\in S_X} P_{X,Y}(x,y)$ marginal pdf $f_X(x)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dy \\ f_Y(y)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dx$ x의 marginal pdf를 얻으려면 y에 대해 적분,
y의 marginal pdf를 얻으려면 x에 대해 적분.
$\sum_{x\in S_X} \sum_{y\in S_Y} P_{X,Y}(x,y)=1$ $\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} \int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dxdy=1$ $x,y$ 의 전체 범위에 대한 joint pmf/pdf의 합은 1
joint cdf $F_{X,Y}(x,y)=\sum_{u\le x} \sum_{v\le y} P_{X,Y}(u,v)$ $F_{X,Y}(x,y)=\int\nolimits_{-\infty}^{x} \int\nolimits_{-\infty}^{y} f_{X,Y}(u,v) dudv$ joint pmf/joint pdf를 가지고 cdf를 만들기? chk
좌표평면에서 ┐모양을 생각
(꺾어지는 점이 x,y 이고 그 왼쪽 아래 면적을 생각)
$f_{X,Y}(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} F_{X,Y}(x,y)$ 오른쪽은 cdf를 미분해서 joint pdf 만들기? chk
x,y가 A라는 특정 영역에 속할 확률? $\text{Pr}[A]=\sum_{(x,y)\in A} P_{X,Y}(x,y)$ $\text{Pr}[A]=\iint\nolimits_A f_{X,Y}(x,y) dxdy$ pmf에선 A에 속하는 모든 x, y 지점의 pmf 값을 더하면 되고
연속변수의 경우 pdf를 영역에 대해 적분하면 됨