See also 미분,differential (originally 미분,differential)

선형근사,linear_approximation와... mklink

$x=a$ 에서 $f$ 의 선형화(linearization) 또는 선형근사함수(linearization)는 다음과 같이 나타낸다.

$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$

근사,approximation 방법.
아이디어: 곡선,curve 그래프는 확대할수록 점점 직선,line에 가까워진다.

$f$ 가 $x=a$ 에서 미분가능할 때, 근사함수

$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$

를 $a$ 에서 $f$ 의 선형화함수(linearization)라고 한다.
함수 $f$ 를 $L$ 로 근사시키는 식

$f(x)\approx L(x)$

를 $a$ 에서 $f$ 의 표준선형근사식(standard linear approximation)이라고 한다.
점 $x=a$ 를 근사의 중심,center이라고 한다.

(Thomas 13e ko 2.11 p141)

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설명 ¶

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$ 이므로

$x=a$ 에서의 접선 (i.e. $x=a$ 에서 $y=f(x)$ 에 대한 접선)은 다음과 같고,

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

여기서 $y=L(x)$ 로 둔

$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$

를 $x=a$ 에서 $f$ 의 선형화,linearization라고 함.

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Ex ¶

Find $L(x)$ of the fn

$f(x)=\sqrt{x+3}$ at $a=1$

and use it to approximate $\sqrt{3.98}$ and $\sqrt{4.05}$

Sol.

$f(1)=2$
$f'(x)=\frac1{2\sqrt{x+3}}$
$f'(1)=1/4$

$L(x)=2+\frac14(x-1)=\frac14x+\frac74$

$f(0.98)=\sqrt{3.98}\approx\frac14(0.98)+\frac74=1.995$
$f(1.05)=\sqrt{4.05}\approx\frac14(1.05)+\frac74=2.0125$

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Ex ¶

For what values of $x$ is the linear approximation

$\sqrt{x+3}\approx\frac74+\frac{x}4$

accurate to within 0.5?

Sol.

$\left|\sqrt{x+3}-\left(\frac74+\frac{x}4\right)\right|<0.5$

그래프에서 보면 절대값 안이 항상 음수라 한다.

$\frac74+\frac{x}4<0.5+\sqrt{x+3}$
$\frac54+\frac{x}4<\sqrt{x+3}$
$x+5<4\sqrt{x+3}$

양변을 제곱하면

$x^2-6x-23<0$

근의 공식을 써서 구간을 구하면

$-2.66<x<8.66$

이상 Ex의 source: http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=293242 3.11 선형 근사값과 미분

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Ex. 1 ¶

이거 이상한 것 같은데.. 잘못 적었나? chk

Q:
$a=1$ 에서 $f(x)=\sqrt{x+3}$ 의 선형화를 구하고 이를 이용하여 $\sqrt{4.01}$ 의 근삿값을 구하라.

Sol.
$f'(x)=\frac12(x+3)^{-\frac12} = \frac1{2\sqrt{x+3}}$
$f'(1)=\frac14$
선형화 $L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=2+\frac14(x-1)=\frac14x+\frac74$
$x\approx 1$ 일 때
$\sqrt{4.01}=f(1.01)\approx L(1.01)=2.0025$

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Ex. ¶

Find the linearization of the fn $f(x)=\sqrt{x+3}$ at $a=1$ and use it to approximate the numbers $\sqrt{3.98}\textrm{ and }\sqrt{4.05}.$ Are these approximations overestimates or underestimates? (더 크게 근사했는가 작게 근사했는가)

sol.
The derivative of