스털링_공식,Stirling_formula

Stirling's formula
Stirling's approximation

$n!\sim\sqrt{2\pi}n^{n+\frac12}e^{-n}$

$n$ 이 클 때, 계승,factorial의 근사값을 제시
$\sim$ 기호는 $n\to\infty$ 일 때 양쪽 값이 같아짐을 나타냄
(Leon-Garcia p.57)

팩토리얼의 근사식:
$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

Stirling’s formula asserts that
$n!\sim n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$
i.e.
$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}}=1$

(http://people.math.harvard.edu/~auroux/112s19/hw9.pdf)

감마함수,gamma_function는 $x\to\infty$ 일 때 다음과 같은 Stirling의 공식(Stirling's formula)을 사용하여 점근적으로 나타낼 수 있다.
$\Gamma(x)\sim\sqrt{\frac{2\pi}{x}}\left(\frac{x}{e}\right)^x$

(이승준 p60)

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증명