계승,factorial

$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$

$0!=1$

$f(n)=\begin{cases}1&\textrm{ if }n=0,\,n=1\\nf(n-1)&\textrm{ if }n>1\end{cases}$



1. 0! = 1인 이유

(x+1)! = (x+1)x!
x=0을 대입하면,
(0+1)! = (0+1)0!
1! = (1)0!
1 = 0!

2. (-1)! = ∞ 인 이유? chk

$n!=n\times(n-1)!$ 이므로
$1!=1\times 0! \;\to\; 0!=\frac{1!}{1}=1$
이것을 확장하여 $(-1)!$ 을 구해보면
$0!=0\times(-1)! \;\to\; (-1)!=\frac{0!}{0}=\frac10=\infty$


4.1. 상승계승 rising factorial

4.2. 하강계승 falling factorial

5. Prg Lang Impl


여러 언어 구현 참조: http://rosettacode.org/wiki/Factorial
다음과 같은 여러 방법이 있음

5.1. using recursion

5.2. using loop

5.3. using memoization

5.4. using gamma function

$x!=\mathrm{\Gamma}(x+1)$ 을 이용. 여기서 $\mathrm{\Gamma}$감마함수,gamma_function.




순열의 경우,
$_n\mathrm{P}_{n}=n!$

sub?
상승계승 rising_factorial
하강계승 falling_factorial
/// Ndict:상승계승 Google:rising.factorial Google:falling.factorial

rel.
순열,permutation = 하강계승? chk
완전순열,complete_permutation = 교란순열 = 교란 = Srch:derangement

소수계승 or 소계승?? primorial ... rel 소수,prime_number
curr see Namu:소수 계승
Google:primorial (prime + factorial)


계승은 자연수,natural_number0에서 정의.
계승을 더 (정의역,domain을 자연수→실수 확장,extension?? 일반화,generalization? chk) 일반적으로 확장시킨 개념은 감마함수,gamma_function를 참조.
참고로,
$n!=\mathrm{\Gamma}(n+1)$

계승의 다양한 확장
https://jjycjnmath.tistory.com/515
  • 감마함수
  • 준계승(subfactorial) - 완전순열 complete_permutation or 교란 derangement 관련, (curr see 순열,permutation) (derangement : see WpEn:Derangement)
  • 이중계승(double factorial) 및 다중계승(multiple factorial, multifactorial)
  • 소수계승(primorial)
  • 초계승(superfactorial)

계승의 또 다른 일반화:
Bhargava_factorial
{
Bhargava factorial
WpEn:Bhargava_factorial
"Bhargava factorial"
Ggl:Bhargava factorial
}



AKA 팩토리얼, 차례곱(북한말)

CHK 한자 이름 階乘에서 계는 단계/계단 할 때 그거?[1]

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  • [1] "계승이란 단계를 내려가듯이 숫자를 하나씩 줄여가면서 곱해가는 연산을 말한다." (통계가 빨라지는 수학력)