역행렬,inverse_matrix

정의:
n차 정사각행렬 A에 대해, 다음을 만족하는 B가 있으면 A는 가역(invertible)이다.
AB=In=BA
이 때 B를 A의 역행렬(inverse matrix)이라 하며, 이러한 B가 없으면 A는 비가역(noninvertible)이다.

표기:
A의 역행렬 = A−1

따라서 AA−1=A−1A=I


A는 det(A)≠0일 때에만 역행렬을 가진다.

역행렬이 존재한다면 유일하다(unique). // 유일성,uniqueness

영행렬,zero_matrix의 역행렬은 존재하지 않는다. $\not\exists O^{-1}$ - chk

행렬의 곱셈에 대한 역원,inverse_element.

CHK
{
행렬 A의 역행렬은
$A^{-1}=\frac1{\det A}\operatorname{adj}A$
det : 행렬식,determinant
adj : 수반행렬=딸림행렬,adjoint_matrix
}



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1. TMP CHK


용어가 난립하고 혼란스러워서 대대적 정리 및 비교표 필요 ex. singular/nonsingular/정칙/비정칙/가역/비가역/invertible/inverse/....

{

invertible matrix = nonsingular matrix

AB=BA=I
여기서 A, B는 둘 다 invertible(=nonsingular) 행렬에 속함.
그리고 A, B는 서로 inverse matrix임.

A는 있는데 위 식을 만족하는 B가 존재하지 않으면, A는 singular matrix에 속함.

nonsingular matrix의 inverse matrix는 유일함. i.e.
nonsingular matrix는 단 하나의 inverse matrix를 가짐. (아래 밑에 증명까지 적어놓은 게 있네.)

역행렬의 조건:
A가 nonsingular matrix일 필요충분조건은 A의 determinant가 0이 아니라는 것. i.e.
det(A)≠0


CHK [http]p32
{

역행렬을 갖는 경우 정칙행렬,regular_matrix nonsingular matrix
역행렬을 갖지 않는 경우특이행렬,singular_matrix singular matrix

A가 n×n행렬일 때
$\exists A^{-1}$ rank(A)=n A는 정칙행렬 det(A)≠0
$\not\exists A^{-1}$ rank(A)<n A는 특이행렬 그럼여기는 det(A)=0? CHK
}

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2. 2×2 행렬의 역행렬

Let
$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}.$
If det(A)=ad−bc=0 : A is not invertible.
If det(A)=ad−bc≠0 : A is invertible and
$A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}.$


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3. 성질

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}$
CHK

2022-12-28 고교참고서보고 적음, 대개 너무 뻔하지만 안그런건 증명이나 그런거 나중에

AB=I ⇔ A=B−1, B=A−1

(A−1)−1=A

(An)−1=(A−1)n

(AB)−1=B−1A−1,
(ABC)−1=C−1B−1A−1,
(ABCD)−1=D−1C−1B−1A−1 ...
설명:
(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=AA−1=I
(B−1A−1)(AB)=I (마찬가지로)
따라서 역행렬의 정의에 의해 (AB)−1=B−1A−1

A=A−1 ⇔ A2=I

(kA)−1=k−1A−1 = (1/k)A−1 (단 k≠0인 실수)

(ABA−1)n=ABnA−1,
(BAB−1)n=BAnB−1

AX=B ⇔ X=A−1B,
XA=B ⇔ X=BA−1
설명:
AX=B
⇒ A−1(AX)=A−1B
⇒ (A−1A)X=A−1B
⇒ X=A−1B

CHK

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4. 정리

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4.1. 1.

n차의 정사각행렬 A가 가역이면 A의 역행렬은 유일하다.

증명
행렬 B, C가 모두 A의 역행렬이라면
AB=In=BA,
AC=In=CA
이므로
B=BIn=B(AC)=(BA)C=InC=C ■

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4.2. Sherman-Morrison, Woodbury, Sherman-Morrison-Woodbury

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5. 컴퓨터에서

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6. TODO

QQQ 정사각행렬에서만 정의? 이유?
AA−1 그리고 A−1A가 모두 항상 정의되어야 해서 그런거?

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7. adjoint와의 관계, chk and merge

Inverse matrix:
$A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}A}{|A|}$
where $\operatorname{adj}A$ is an adjoint_matrix(수반행렬, 딸림행렬,adjoint_matrix? 여인수행렬의 전치행렬,transpose_matrix? mksure) which is defined as
$\operatorname{adj}A = \begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}^T$
where $c_{ij}$ is the cofactor of $a_{ij}$
$c_{ij}=(-1)^{i+j} m_{ij}$
where $m_{ij}$ is the determinant of $(n-1)\times(n-1)$ matrix whose i-th row and j-th column are deleted. // (소행렬식 minor)
// via 김광수 http://kocw.net/home/cview.do?mty=p&kemId=1389213 1. 39m

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8. Bmks en