여인수,cofactor

pagename 고민. TBD
정수론,number_theory의 cofactor를 여인수, - is a 인수,factor
선대의 cofactor를 여인자 - 여인자,cofactor - is a 인자,factor
이렇게 할까??
후자도 수,number이긴 하다.
{
$n\times n$ 차 행렬식,determinant에서 성분 $a_{ij}$ 가 속한 행과 열을 없앤 행렬식 $M_{ij}$ 를 $a_{ij}$ 의 소행렬식,minor_determinant이라고 한다. 그리고 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 를 $a_{ij}$ 의 여인수(is-a 여인자)라고 한다.

$n$ 차 정사각행렬 $A$ 의 역행렬의 성분은
$a_{ij}=\frac1{\det(A)}\times(a_{ji}\textrm{'s cofactor})$
}
//mw Cofactor 대충번역 at 2022-01-29

(분야: 정수론?)
수,number(정수??) $n=ab$ 와, $n$ 의 인수,factor $a$ 이렇게 있을 때,
$a$ 의 여인수,cofactor는 $b=n/a$ 이다.

(분야: 행렬/linalg)
다른 type의 cofactor - 가끔 cofactor_matrix 라고도 불리는 - 것은 minor { https://mathworld.wolfram.com/Minor.html } $M_{ij}$ 에 부호가 붙은(signed) 버전이며 다음과 같이 정의된다.
$C_{ij} \equiv (-1)^{i+j} M_{ij}$
이것은 다음과 같이 행렬,matrix $A$ 의 행렬식,determinant을 계산하는 데 쓰인다.
$|A|=\sum_{i=1}^{k} a_{ij} C_{ij}$


[edit]

1. 사전지식: 소행렬, 소행렬식

먼저 소행렬과 소행렬식에 대해 행렬,matrix페이지 보다는 여기에 적음.

CHK
{
소행렬(minor matrix)
n차 정사각행렬에서 i행과 j열을 제거해서 얻어지는 n-1차 정사각행렬
Mij로 표기.

소행렬식(minor determinant)
det(Mij) or |Mij| or Dij
소행렬의 행렬식,determinant. 여인수,cofactor계산 시 나오는...
[https]수학백과: 소행렬식
위와 같이 구분하지 않고, 소행렬식을 그냥 $M_{ij}$ 로 표시하기도 함.

([https]여기랑 Gareth Williams 9e)
이 때는
$a_{ij}$ 의 소행렬식(minor of entry aij) : $M_{ij}$
$a_{ij}$ 의 여인수(cofactor of entry aij) : $C_{ij}$ 이고
$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

// http://blog.naver.com/mykepzzang/221080004072 :
n×n행렬 A의 i행과 j열을 제외시킨 부분행렬의 행렬식을 Mij라 쓰고,
Mij를 행렬 A의 성분 aij의 소행렬식이라 한다.
그리고 수 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 를 성분 $a_{ij}$ 의 여인수라 한다.

정리: ((원소)×(여인수) 곱의 일정성??)
n×n 행렬 A의 어떤 행 또는 열을 선택하는가와 상관없이, 선택된 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 더하여 얻은 수는 항상 같다.

정의:
행렬 A가 n×n 행렬일 때, A의 임의의 한 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 더해 얻은 수를 행렬 A의 행렬식,determinant이라 한다.
이 때 합 자체는 A의 여인수 전개라고 불린다.

$n\times n$ 행렬 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ 의 행렬식,determinant은

i행에 의한 여인수 전개
$\det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}$
(행은 i로 일정하고 모든 열에 대해 더함)
j열에 의한 여인수 전개
$\det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}$
(열은 j로 일정하고 모든 행에 대해 더함)

그리고 위 둘, 행에 의한 여인수전개 값과 열에 의한 여인수전개 값은 일치한다.
}

[edit]

2. 여인수, 여인자

여인수, cofactor AKA 여인자:
소행렬의 행렬식(소행렬식)에 적당한 부호,sign를 붙인 것

Cij = (-1)i+j·det(Mij)
$C_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|$
즉 Cij는 하나의 실수이다.

부호는 당연히, 다음 패턴이다. 예를 들어 5x5행렬이라면,
+−+−+
−+−+−
+−+−+
−+−+−
+−+−+ (checkerboard)

여인수행렬, cofactor matrix:
모든 i, j에 대해 Cij들을 모아 행렬을 만든 것?

여인수전개, cofactor expansion AKA 라플라스 전개, Laplace expansion:
행렬식을 여인수의 결합으로 표현하는 형태
{
$n\times n$ 크기 행렬 $A=[a_{ij}]$ 에 대해, 행렬식은
$\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$
임의의 행을 따라서도 가능하다. 제 $i$ 행을 따라 여인수 전개한 행렬식은
열을 기준으로도. 제 $j$ 열을 따라...
내용은 밑의 수학백과 참조.

// from KUIAI
$n\times n$ 행렬 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ 의 행렬식,determinant

$i$ 행에 의한 여인수 전개
$\det A=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}$
$j$ 열에 의한 여인수 전개
$\det A=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}$

그리고 그와 별도로 twins
WpKo:라플라스_전개 라플라스 전개(Laplace expansion) 또는 여인자 전개(cofactor expansion)
WpEn:Laplace_expansion also called cofactor expansion
Namu:라플라스 전개

// Srch:Laplace_expansion Srch:cofactor_expansion중에 pagename TBD. 아님 둘다 mk하던지
전개,expansion
}

[edit]

3. 활용: 역행렬 구하기

그리하여 이것으로 역행렬을 구하기... tmp from [http]src p34
n×n행렬 $A=[a_{jk}]$ 의 역행렬은
$A^{-1}=\frac1{\det A}[C_{jk}]=\frac1{\det A}\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\\ \vdots &\ddots &\vdots \\ C_{1n} &\cdots & C_{nn}\end{bmatrix}$

[https]src
정사각행렬 A의,
역행렬:
$A^{-1}=\frac1{\det A}C^t$ (Cijt 맞나? 그렇게 표현하는 게 낫지 않나? CHK)
where $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
행렬식:
$\det A=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}\cdot\det(M_{ij})$



https://www.youtube.com/watch?v=bHdzkFrgRcA 끝부분에 있음 나중에 받아적을것 and cp to MIT_Multivariable_Calculus lec 3 Denis Auroux
1. minors (소행렬을 구한다)
2. cofactors (여인수행렬을 구한다)
3. transpose (전치행렬을 구한다)
4. divide by determinant