전치행렬,transpose_matrix

표기
행렬 A의 전치행렬을 AT로 표기.
Transpose matrix of A := AT or At

$A=[a_{ij}]$ 가 m×n 행렬이면, $A$ 의 전치행렬은
$A^t=[a_{ji}]$ 인 n×m 행렬

AijT=Aji

성질
(In)T=In (단위행렬,unit_matrix의 전치는 그 자신과 같음)
For any matrix A, (AT)T = A (어떤 행렬의 전치의 전치는 그 자신과 같음)
If AB is defined, then (AB)T = BTAT

곱의 전치와 전치의 곱은 다음 성질이 있음
(AB)T=BTAT
(이 성질은 전치(T)가 역(-1)과 매우 비슷하네....)

A가 A의 전치행렬과 똑같으면, A를 대칭행렬이라고 함.
AT=A 일 때 A는 대칭행렬,symmetric_matrix.
AT=−A 일 때 A는 반대칭행렬,skew-symmetric_matrix.


페이지명이 좀 그런데 행렬뿐만 아니라 벡터도 언제든 전치가 가능하지 않나... 1xn, mx1 행렬이 벡터이긴 하지만 다음 이름이 더 나은가? 전치,transposition or 전치,transpose?
- i.e. 전치(연산) 페이지를 여기("행렬을 전치한 결과인 행렬")서 분리하는 게 필요. - 거기에 행렬의전치 및 벡터의 전치 적을 것. - 근데 pagename: transposition / transpose 중에 TBD.
{
넘파이,NumPy에선 ndarray의 T 속성을 써서 전치를 구한다. T는 method가 아니라 attribute이므로 T()가 아님.
행벡터,row_vector의 전치는 열벡터,column_vector, vice versa.
}



[edit]

1. 법칙/성질

(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT
(A−B)T=AT−BT
(kA)T=kAT (k는 상수)
(AB)T=BTAT

CHK, and pf?

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2. 비교: 켤레전치, 켤레전치행렬, (complex) conjugate transpose (matrix)

complex transpose란 말이 있는데 = complex conjugate transpose = conjugate transpose 인듯. chk
켤레전치,conjugate_transpose or 켤레전치행렬
AKA 공액전치
AKA 에르미트 전치(Hermitian transpose)
AKA 켤레복소수 전치

먼저 켤레복소수,complex_conjugate를 취한 다음 (켤레행렬,conjugate_matrix 만들어서) transpose. chk

tmp links
https://m.blog.naver.com/sw4r/221358397565 - 전치한다음 켤레...
AKA bedaggered matrix
AKA transjugate


//mathworld
켤레한다음 전치...
근데 둘이 commute하므로 $A^{\rm H}=\bar{A}^{\rm T}=\bar{A^{\rm T}}$

curr. mentioned in 딸림행렬,adjoint_matrix#s-1 (매우 다양한 표현)

이 개념은 유니터리행렬,unitary_matrix에 쓰임.





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3. Videos

Matrix transpose isn't just swapping rows and columns (Mathemaniac)
https://www.youtube.com/watch?v=g4ecBFmvAYU
매우대충적음 at 2022-12-22
{
먼저 covector
covector Srch:covector
// kms covector : "코벡터, 여벡터" via https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=covector

같은 것을 여러 이름으로 부른다.
covector - 물리학,physics에서
dual - 선형대수,linear_algebra에서
1-form - 미분기하,differential_geometry/GR에서

covector는 벡터,vector를 측정(measure)해서 수,number를 출력하는 기계(measuring device)로 볼 수 있다.
이것은 선형성,linearity을 가진다. 즉
v1을 측정해서 a1이 나오고
v2를 측정해서 a2가 나왔다면
v1+v2를 측정하면 a1+a2가 나온다.

rel. 선형변환,linear_transformation

그리고 level_set개념을 알아야 한다.

그러면
parallel lines at regular intervals가 한 covector이다.

ex.
(1,0)-covectors: 세로로 평행한 선들
(0,1)-covectors: 가로로 평행한 선들
(1,1)-covectors: ⟍⟍⟍⟍⟍ ← 이 방향 45도 기울어진 선들. 그에 대한 법벡터(?) (1,1)의 length는 $\sqrt{2}$ 라서, 직선,line들간의 거리인 gap size는 $\frac1{\sqrt{2}}$ 이다.

gap size와 density는 반비례한다.

이건 2차원이었고, 3차원에선 parallel lines 대신 parallel planes이다. - 평면,plane

covector_transformation:
$\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$
where
$\binom{1}{0}$ goes to $\binom{a}{b}$ and
$\binom{0}{1}$ goes to $\binom{c}{d}$

MKLINK
shear { left_shear and right_shear }
회전,rotation 행렬,matrix - 회전행렬,rotation_matrix
직교행렬,orthogonal_matrix AT = A−1
one-to-one correspondence = 전단사,bijection



AKA transposed matrix, transpose(wpen)
Up: 전치,transpose(전치가 전치행렬을 뜻하기도 함) 행렬,matrix