치환적분,integration_by_substitution

Difference between r1.9 and the current

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미분가능한 함수 $t=g(x)$ 의 도함수 $g'(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고,
$g(a)=\alpha,\,g(b)=\beta$ 에 대해 함수 $f(t)$ 가 $\alpha,\beta$ 를 양 끝으로 하는 닫힌 구간에서 연속일 때
$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(t)dt$
= tmp 단대 김도형 8강 1:10 =
정리: $u=g(x)$ 가 미분가능하고, $f(g(x))$ 가 정의됨
$\Rightarrow\;\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$
pf.
$f$ 의 역도함수를 $F$ 라 하면
$F'=f \;\Leftrightarrow\; \int f(x)dx=F(x)$
$x \mapsto u=g(x) \mapsto y=F(u)=F(g(x))$
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
$=F'(u)\cdot g'(x)$
$=f(u)g'(x)$
$=f(g(x))g'(x)$
역도함수의 정의에 의해
$\int f(g(x))g'(x)dx=F(u)=\int f(u)du$

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미분의 [[연쇄법칙,chain_rule]]에 대응.
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Up: [[치환,substitution]] [[적분,integration]]


적분 식
$\int f(x)dx$
에서 $x=g(t)$ 로 놓으면, $g(t)$ 가 미분가능할 때
$\int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt$

[edit]

치환적분

(정리) $u=g(x)$ 를 미분가능한 함수라 하고 그 치역을 $I,$ $f$ 를 $I$ 위에서 연속이라고 하면 다음이 성립.
$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$
(Thomas 13e ko p277)

[edit]

정적분의 치환적분법

구간 $(a,b)$ 에서 $g'$ 이 연속이고,
$f$ 가 $u=g(x)$ 의 치역에서 연속이면 다음 식이 성립:
$\int_a^bf(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

미분가능한 함수 $t=g(x)$ 의 도함수 $g'(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고,
$g(a)=\alpha,\,g(b)=\beta$ 에 대해 함수 $f(t)$ 가 $\alpha,\beta$ 를 양 끝으로 하는 닫힌 구간에서 연속일 때
$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(t)dt$

미분의 연쇄법칙,chain_rule에 대응.

치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 실행한 것.
(Thomas 13e ko p275밑)

일변수 함수는 치환을 쓴 치환적분 ... 다변수 함수는 변환을 쓴 야코비안,Jacobian? CHK