켤레복소수,complex_conjugate

기호/표기: 복소수 $z$ 의 켤레복소수는
$\bar{z}$ (주로 수학에서 쓰임)
$z^{\ast}$ (주로 물리와 공학에서 쓰임)

복소수
$z=a+bi \;\;\; (a,b\in\mathbb{R},\,i^2=-1)$
의 켤레복소수는
$\bar{z}=a-bi$
즉 허수부의 부호,sign를 바꾼(반전시키는) 것.
i.e.
$\bar{a+bi}=a-bi$

켤레복소수는 원래 복소수를 복소평면,complex_plane의 실수축에 대칭한 곳의 복소수.


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성질

$\bar{\bar{z}}=z$

$|\bar{z}|=|z|$

$|z|^2=z\cdot\bar{z}$
$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

$\bar{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}$

$\bar{z_1-z_2}=\bar{z_1}-\bar{z_2}$

$\bar{z_1z_2}=\bar{z_1}\bar{z_2}$

$\bar{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$

$z,\bar{z}$ 에 대하여

$z+\bar{z}$ 는 실수
$z\bar{z}$ 는 실수
$z-\bar{z}$ 는 순허수

복소수 $z=a+bi$ 일 때,

$\bar{z}=\bar{(a+bi)}=z^*=(a+bi)^*=a-bi$

$\Re(z)=\operatorname{Re}(z)=a=\frac{z+\bar{z}}2$ (실수부 real part)

$\Im(z)=\operatorname{Im}(z)=b=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ (허수부 imaginary part)

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar{z}}$
$=\sqrt{z\cdot z^*}$
실계수 다항식 $f(x)$ 에서 $a+bi$ 가 $f(x)=0$ 의 해이면 켤레 $a-bi$ 도 해가 됨

from Namu:초월함수 켤레복소수 함수, CHK

$\bar{z}=z^*=\begin{cases}\frac{|z|^2}{z}&\text{ if }z\ne 0\\0&\text{ if }z=0\end{cases}$

TBW:
conjugate_matrix
특히 notation 확실히 정리



Semi-twins:
https://en.citizendium.org/wiki/Complex_conjugation - 아마 complex_conjugate 를 구하는 행동(연산,operation)이 - 즉 imaginary_part 의 부호,sign를 reverse하는 행동이 - complex_conjugation ? CZ says so.


AKA conjugate complex number, 공액복소수, 복소켤레, 복소공액