둘 이상의 독립변수에 대한 unknown function의
편미분을 동반한 미분방정식.
1. tmp from Vector Calculus 6e (p185) ¶
Historical Note: 몇 개의 PDE
1.1. The heat equation ¶
: a homogeneous body, represented by some region in 3-space
:
온도,temperature of the body at the point (x,y,z) at time t
: conductivity (
컨덕티버티,conductivity?? 온도의 것과 전기의 것이 다른데 저기 섹션을 추가하거나 별도의 페이지를 만들어야..)
일 때
(Joseph Fourier)
1.2. The potential equation AKA Laplace's equation ¶
: gravitational potential of a mass
at a point
caused by a point mass
situated at the origin
일 때 퍼텐셜 V는 원점을 제외한 점에서 다음 식을 만족.
1.3. Poisson's equation ¶
가 attracting body 안에 있으면 V는 다음 식을 만족
1.4. The wave equation ¶
linear wave equation in space:
1-dimensional wave equation:
열방정식,heat_equation
{
1D: 온도가 제각각인 막대(rod)를 생각
보면 좌변은 온도가 시간에 따라 어떻게 변하는지, 우변은 온도가 공간에 따라 어떻게 변하는지에 대한 것.
(우변은 공간에 대한 second partial derivative에 비례함을 서술함)
3D:
여기서 T는 x,y,z,t를 파라미터로 하는 함수임.
1D에서 온도 변화에 대해 생각.
from https://youtu.be/ly4S0oi3Yz8?t=496 (3Blue1Brown의 DE 동영상 2: PDE관련)
어떤 점보다 그 주변(neighbor)의 평균 온도가 높다면 온도가 올라가고, 낮다면 온도가 내려갈 것이다.
문제를 간단하게 만들기 위해 (연속적이 아닌) 이산적인 1D 공간을 가정하고, 이웃하는 세 점을 생각하고, 주변은 양쪽 두 곳만 본다.
공간의 점
가 연달아 있고, 그 점에서 온도가 각각
이다.
주변 온도 평균은
이다.
그래서
가 양이면 뜨거워지고(heat up), 음이면 식을 것이다(cool down).
차이,difference가 클수록 빨리.
이렇게 약간의 조작을 가하면 이것이 차의 차(difference of differences)임을 볼 수 있다. 이 식에서
좀 특이하게 보이지만 이렇게 생각하면
}
2.2. Black-Sholes equations ¶
4. 간단한 형식으로 써서 몇 PDE 비교 ¶