조화급수,harmonic_series

무한조화수열,harmonic_sequence을 더한것??

조화수열은 수렴하지만 조화급수는 발산한다고. 항상? chk
조화급수의 $n$ 항까지의 부분합,partial_sum은 조화수,harmonic_number라는 명칭이 있다.


가장 간단한 조화급수
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac1{2}+\frac1{3}+\cdots$
성질: 매우 느리게 발산. 각 항은 0에 가까워지지만 합은 무한대(divergent).

Oresme의 증명(1300년대, 비교판정법,comparison_test)
$1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots$
$>1+\frac12+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\cdots$
$=1+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots$ (발산)

더 많은 예? Google:harmonic series examples

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상수 γ

무한대로 가면 자연로그,log와 상수 만큼 차이가??
오일러-마스케로니_상수,Euler-Mascheroni_constant
{
기호: $\gamma$

$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)$
유리수인지 무리수인지도 알려지지 않았다고.


조화급수를 일반화하면 p급수,p-series (or hyperharmonic series)
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$

조화급수는 리만_제타함수,Riemann_zeta_function에서 $\zeta(1)$ 인 경우임.
조화급수를 일반화하면 리만제타함수.

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alternating harmonic series