직교집합,orthogonal_set

//from 수학백과: 푸리에 급수
구간,interval $[a,b]$ 에서 정의된 실수값 함수들의 집합,set $\lbrace f_0,f_1,\cdots\rbrace$ 이 다음을 만족하면, 이 집합은 직교집합이다.
$(f_m,f_n)=\int_a^b f_m(x) f_n(x) dx = 0\;\;\;(m\ne n)$
좌변은 내적,inner_product을 뜻한다. 즉 함수의 내적이 0이면 두 함수가 직교한다(직교성,orthogonality)고 정의하는 것.

정의: 직교집합
만약 실수 값을 갖는 함수들의 집합 $\lbrace \phi_0(x), \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots \rbrace$ 이 구간 $[a,b]$ 에서 아래와 같은 관계를 갖는다면 직교한다고 한다.
$(\phi_m, \phi_n) = \int_a^b \phi_m(x) \phi_n(x) dx = 0, \; m\ne n$

(Zill 8e ko vol2 p5)

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기저,basis
정규직교집합,orthonormal_set - copied to RR at 2023-11-29.
{
orthonormal set
정규직교집합 via KmsE:orthonormal set

어떤 벡터 $\vec{u}$ 의 놈(norm) 또는 길이 $\left| \vec{u} \right|$ 는 내적,inner_product으로 나타낼 수 있다.
$(\vec{u},\vec{u})=\left|\vec{u}\right|^2$ 은 제곱놈이라고 한다. 그러므로 $\left|\vec{u}\right| = \sqrt{(\vec{u},\vec{u})}$ 이다.
마찬가지로 어떤 함수 $\phi_n$ 의 제곱놈(square norm)은 $\left|\phi_n(x)\right|^2=(\phi_n,\phi_n)$ 로 나타낼 수 있다.
그리고 놈 또는 이 함수의 길이는 $\left|\phi_n(x)\right|=\sqrt{(\phi_n,\phi_n)}$ 가 된다.
다시 설명하면 직교집합 $\left\lbrace \phi_n(x) \right\rbrace$ 에 속하는 함수 $\phi_n$ 의 제곱놈 또는 놈은 각각 아래와 같다.
$\left|\phi_n(x)\right|^2=\int_a^b \phi_n^2(x) dx$
그리고
$\left|\phi_n(x)\right|=\sqrt{\int_a^b \phi_n^2(x) dx}$

직교집합 $\{ \phi_n(x) \}$ 의 원소 $\phi_n(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 $n=0,1,2,\ldots$ 에 대하여 $\left| \phi_n(x) \right|=1$ 이면 $\{\phi_n(x)\}$ 를 이 구간 안에서 정규직교 집합(orthonormal set)이라고 한다.

(Zill 8e ko vol2 p5)
}