벡터공간,vector_space의 원소들에 길이나 크기를 부여하는 함수,function.

열벡터,column_vector u의 norm은 (u^Tu)^1/2로 계산하면 된다.
$\vec{u}=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}$ 일 때
$\vec{u}{}^{\top}\vec{u}=[u_1\;u_2\;u_3]\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=u_1^2+u_2^2+u_3^2$ 이고
$\vec{u}$ 의 norm은
$\left\|\vec{u}\right\|=(\vec{u}{}^{\top}\vec{u})^{1/2}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
via https://youtu.be/FCmH4MqbFGs

카디널리티,cardinality
측도,measure 측정,measurement
과 관계는? 크기(1D 길이, 2D 넓이, 3D 부피, ...)를 추상화/일반화 한 거 맞음?

MKLINK
거리,distance
절대값,absolute_value
제곱노름,square_norm - sub?

거리의 일반화가 metric(계량,metric 혹은 거리,metric, writing) (or 거리함수,distance_function)
크기,size의 일반화가 norm (src:

노름(수학)#s-1)

절대값의 합은 L1 norm.
일반적인 norm은 L2 norm.

원점,origin과의 거리,distance.
제곱,square의 합,sum의 제곱근,square_root.
i.e. 제곱합,square_sum의 제곱근.

(비교, del ok)
제곱의 합의 제곱근 = norm (L2-norm only)
제곱의 평균의 제곱근 = rms (제곱평균제곱근,root_mean_square,RMS)

기호는 항상 $||\cdots||$ 인가?

절대값,absolute_value 기호인 $|\cdots|$ 가 혼용되는 것을 자주 보았는데 그 이유는 무엇?

L1 norm : sum of absolute values
$\left\|x \right\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$

L2 norm : square root of the sum of the absolute values squared
$\left\|x \right\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right)^{\frac12}$

Lp norm :
$\left\|x \right\|_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{\frac1p}$

L∞ norm : infinity norm? (엄밀한 것은 아니고 기억법?) (|x|^∞ + |x|^∞ + …)^1/∞ 괄호 안에선 가장 큰 것만 살아남는다 - 무한대승이다 보니 가장 큰 것 외에는 모두 무시된다. 그리고 가장 큰 것의 ∞승과 가장 바깥의 1/∞승이 상쇄되어 결국 max()와 같다.[1]
$\left\|x \right\|_{\infty} = \max_i|x_i|$
2023-05-24 증명은 이렇다. https://vegatrash.tistory.com/64

// tmp from https://aerospacekim.tistory.com/14 마지막부분

정의

p-norm:

$\left\| \vec{x} \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + \cdots + |x_n|^p} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{\frac1p}$

generalized_mean, power_mean: - 일반화된평균 ... 평균,mean,average#s-5
음이 아닌 실수 $x_1,\ldots,x_n$ 에 대해

$M_p(x_1,\cdots,x_n) := \sqrt[p]{\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n}} = \left(\frac1n \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{\frac1p}$

정적분,definite_integral을 정의할 때, 아주 미세한 분할,partition의 길이,length중 가장 큰 값을 노름이라 하는데, 이유?

2020-11-11
노름(norm)은 길이(length), magnitude와 확실히 깊은 관련.
벡터,vector의 차이,difference의 노름을 거리,distance로 정의하는 듯. 식 추가 TBW.

2020-11-17
노름이 정의된 벡터공간,vector_space를 노름공간,normed_space이라 하는데 TBW later.

2021-12-20
p-adic_norm ? tbw.
{
via https://mathworld.wolfram.com/StrongTriangleInequality.html

이것의 일반화로 valuation { 값매김? 부치? https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=valuation ... rel. 값,value 삼각부등식,triangle_inequality Twins: https://mathworld.wolfram.com/Valuation.html } 이 있음 ... (mw)

rel.
p진수,p-adic_number - 저기도 언급 있었네, 여기로 옮겨옴.

Twins:
https://mathworld.wolfram.com/p-adicNorm.html
https://proofwiki.org/wiki/Definition:P-adic_Norm
}

2022-02-04
vector_norm
https://planetmath.org/vectornorm

real_vector_space 그리고 complex_vector_space 에서 정의. 방법은 비슷.

p-norm, vector_p-norm
https://planetmath.org/vectorpnorm
p-norm은 (Lp_space L^p-space, aka 르베그_공간,Lebesgue_space, curr at 공간,space) 이거랑 묶어 서술해야하고.. 암튼 현재는 see:

Lp_space#The_p-norm_in_finite_dimensions
https://everything2.com/title/p-norm

p-norm

2022-03-16
// ㄷㄱㄱ Week 1-1 p16
p노름,p-norm
{
p-norm $||\vec{x}||_p$

For $p \ge 1,$ p-norm of $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ is defined as

$||\vec{x}||_p = \left[ \sum_{i=1}^n \left| x_i \right|^p \right]^{\frac1p}$

특히 자주 나오는 p-노름 세 가지는,
$||\vec{x}||_1 = |x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|$
$||\vec{x}||_2 = \sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\cdots+|x_n|^2}$
$||\vec{x}||_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} |x_i|$