거리공간,metric_space

aka 계량공간?
/// 일단 계량 - 거리 - metric - Euclidean_metric - Euclidean_distance - 거리,distance - 거리함수,distance_function 사이의 관계 갖춰진 다음 작성 ... 하는게 편할듯


// tmp, rechk, cleanup; from 두산백과....roughly
{
집합,set S의 임의의 두 원소,element a, b에 대해
실수,real_number(아마 정확히는 실수값함수) d(a,b)가 일의적으로 대응 .. 그리고 다음 세 조건이 성립한다면
임의의 a,b(,c)에 대해
  1. d(a,b) ≥ 0 (특히 a = b이면 d(a,b) = 0)
  2. d(a,b) = d(b,a) // rel. 교환법칙,commutativity..?
  3. d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)
성립한다면, 이때 d가 거리함수,distance_function, S가 거리공간...
예:
유클리드_공간
힐베르트_공간
프레셰_공간

QQQ
이건 조건 or 공리,axiom?
이것만 만족하면 거리공간인건지? chk
}
//wpen 대충
거리공간은 그 원소,element(대개 점,point으로 불리는)들과 그 사이의 거리,distance 개념,notion이 함께하는 집합,set이다.
거리는 메트릭metric(WpEn:Metric_(mathematics), corresp ko interwiki WpKo:거리_함수)이라 불리는 함수,function에 의해 측정된다(measured).

chk


집합에서 둘을 임의로 뽑으면 그에 해당하는 2-argument 함수인 metric이 있고 - 보통 거리,distance라 불리는 - 그리고 이 함수는 대칭적(대칭성,symmetry). 즉 d(x,y)=d(y,x)
from WpSimple:Metric_space





[edit]

김홍종

두 점 사이 거리,distance를 잴 수 있는 방법
$\text{dist}:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$
이 주어진 집합,set을 거리공간이라고 부른다.

어떤 집합 $U$ 에 대하여 함수,function
$d:U\times U\to\mathbb{R}$
가 성질
$\bullet\;d(x,y)\ge 0$
$\bullet\;d(x,y)=0 \;\Leftrightarrow\; x=y$
$\bullet\;d(x,y)=d(y,x)$ (대칭성,symmetry)
$\bullet\;d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$ (삼각부등식,triangle_inequality)
를 가지면, 함수 $d$ 를 거리함수,distance_function라고 부르고 순서쌍,ordered_pair $(U,d)$ 를 거리공간,metric_space이라고 부른다.

(보기) 임의의 집합 $U$ 에
$d(x,y) := \begin{cases}1,&x\ne y\\0,&x=y\end{cases}$
로 정의하면 이것은 거리함수이다.

등장사상 isometry = 거리보존사상

두 거리 공간 $(U_1,d_1),(U_2,d_2)$ 사이의 전단사함수,bijective_function(curr. 전단사,bijection)
$f:U_1\to U_2$
가 임의의 두 점 사이의 거리를 보존하면, 즉
$d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y)$
이면, $f$ 를 거리 보존 사상 또는 등장사상(isometry)이라고 부른다.
앞으로, 두 거리공간(각주: 혼란이 없으면, 거리공간 $(U,d)$ 를 간단히 $U$ 로 나타내기도 한다.) $U_1,U_2$ 사이에 등장사상이 존재하면 $U_1$ 과 $U_2$ 는 서로 등장이라고 부른다.

(김홍종 미적1+ p171-, '부록: 유클리드 공간')

등장변환 isometry

n-공간에서 (초평면,hyperplane에 대한) 반사변환, 회전변환 또는 평행이동으로 표현되는 변환,transformation들은 모두 두 점 사이의 거리,distance를 보존하는 변환들이다. 이러한 변환을 등장변환(isometry)이라고 부른다. 다시 말해, 변환 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 가
$|T(X)-T(Y)|=|X-Y|$
$(X,Y\in\mathbb{R}^n)$
를 만족시키면 $T$ 를 등장변환이라고 부른다.

(김홍종 미적1+ p239)


[edit]

tmp bmks ko


https://freshrimpsushi.github.io/posts/definition-of-open-in-metric-space-at-pma/
거리공간 $(X,d)$ 에서 $p\in X,E\subset X$ 일 때, 다음 개념들을 간략하게 한두줄로 정의함
근방,neighborhood
반경=반지름,radius
집적점 limit_point Srch:limit_point
고립점,isolated_point
닫혀있다 closed - closedness? closure? 닫힘성?
내점,interior_point
열려있다 open - openness? - 열림? 열림성?
여집합,complement
완벽하다 perfect - 완벽성? perfection? perfectness?
유계,bounded
조밀하다 dense - 조밀성denseness?
도집합,derived_set
폐포,closure

https://chocobear.tistory.com/170 거리공간 정의
{
집합과 함수(거리함수 - 거리함수,metric or 거리함수,distance_function)로 정의함

임의의 두 점,point 사이의 거리함수가 잘 정의된 집합,set
}
(이후 해석학 카테고리에 거리공간 글들 이어짐)




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  • [1] 두산백과: "위상공간의 한 개념.."